（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值同步测试

试卷更新日期：2022-10-24 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 实数 $t a n 45 °$ ， $\sqrt[3]{64}$ ， $0$ ， $- π$ ， $\sqrt{9}$ ， $\frac{22}{7}$ ， $0.3131131113 \dots$ （相邻两个3之间依次多一个 1），其中无理数的个数是（）

A、4 B、2 C、1 D、3

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2. 已知α是锐角，若sinα= $\frac{1}{2}$ ，则α的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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3. 计算sin 45°+cos45°的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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4. 如图，在△ABC中，点D是AB中点，BE⊥AC垂足为E ，连接DE ，若∠ABE＝30°，∠C＝45°，DE＝2，则BC的长为（）

A、2 B、3 C、2 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{6}$

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5. 在△ABC中，(2cosA－ $\sqrt{2}$ )²＋| $\sqrt{3}$ －tanB|＝0，则△ABC一定是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、锐角三角形

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6. 若规定 $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ ，则sin15°=（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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7. 已知 $α$ 为锐角，且 $\sin (α - 10 °) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $α$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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8. 计算2cos60° -sin²45°+cot60°的结果是（）

A、 $\frac{1}{2} + 3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ D、 $1- \sqrt{3} + \sqrt{2}$

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9. 如图是一个 $2 \times 2$ 的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则a可以是（）

A、 $\tan 60 °$ B、 ${(- 1)}^{2019}$ C、0 D、 ${(- 1)}^{2020}$

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10. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东 $60 °$ 方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东 $30 °$ 方向，测绘员由A处沿主输气管道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西 $75 °$ 方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使点N到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、366米 B、650米 C、634米 D、700米

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. ${(- \frac{1}{2})}^{- 3} + {(\sqrt{3} - 1)}^{0} - t a n 30 ° =$ .

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12. 计算tan 45°的正确结果是．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 45 ° ， A E$ 为 $B C$ 边上的高，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 所在的直线翻折，得到 $△ A B^{'} E$ ，若 $B^{'} C = \sqrt{2} - 1$ ，则菱形的边长为．

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14. 在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则∠C的度数是.

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15. 如图，半圆的直径 $A B ＝ 6 ，$ 点C在半圆上， $∠ B A C ＝ 30 °$ ，则阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a^{2} - 1}) \div \frac{2}{a + 1}$ ，其中 $a = 2 s i n 60 ° + 1$ .

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17. 先化简 $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，然后再从sin30°，1， ${(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ 这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.

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18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 6} \div (x - \frac{1 - 3 x}{x - 3})$ ，其中 $x = c o s 30 ° + t a n 45 °$ .

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19. 如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01， $\sqrt{3}$ ≈1.732， $\sqrt{2}$ ≈1.414）

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20. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，BC=1.5，求AC．

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21.
在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？

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22. （1）计算： ${(- 2)}^{2} + 2 \sqrt{12} - 8 \cos 30 ° - |- 3|$ ；
（2）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a=﹣1．

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23. 小明在某次作业中得到如下结果：
sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，
sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，
sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，
sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，
sin²45°+sin²45°=（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）²+（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）²=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

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（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共55分）

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值同步测试