浙江省台州市2022-2023学年九年级上学期第一次月考（10月）数学试题

试卷更新日期：2022-10-24 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）

A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

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2. 下列图形为圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根是0，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、1或-1 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 下列方程为一元二次方程的是（）

A、 $x + 1 = 4$ B、 $x^{2} + y + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 3 x = 6$ D、 $x + \frac{1}{x} = 2$

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5. 如图，△DEC 是由△ABC 绕点 C 顺时针旋转 30°所得，边 DE，AC 相交于点 F.若∠A＝35°，则∠EFC 的度数为（　　）

A、50° B、55° C、60° D、65°

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6. 如图，二次函数 $y = {ax}^{2} + bx$ 的图像开口向下，且经过第三象限的点 $P .$ 若点P的横坐标为 $- 1$ ，则一次函数 $y = (a - b) x + b$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设其有 $x$ 位同学会，则 $x$ 满足的关系式为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 45$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 45$ C、 $x (x + 1) = 45$ D、 $x (x - 1) = 45$

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8. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）

A、36° B、44° C、54° D、56°

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9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 如图， $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将 $△ ABC$ 在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x - a = 0$ 的一个根是2，则另一个根是．

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12. 二次函数 $y = 2 x^{2} + bx + 3$ 的图象的对称轴是直线?=1，则常数?的值为.

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13. 已知 ${(x - 3)}^{2} + | y - 4 | + \sqrt{z - 5} = 0$ ，则以?，?，?的值为边长的三角形的面积是．

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14. 已知⊙O的半径为10，弦AB//CD， AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为.

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15. 如图， $P$ 是抛物线 $y = - x^{2} + x + 2$ 在第一象限上的点，过点 $P$ 分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴引垂线，垂足分别为 $A$ ， $B$ ，则四边形 $OAPB$ 周长的最大值为.

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16. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 mx$ （m为常数），当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，函数值y的最小值为-2，则m的值是.

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三、解答题（共70分）

17. 解方程

(1)、 $x (5 x + 4) - (4 + 5 x) = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$

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18. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD=∠B=30°，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明．

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19. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ .

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

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20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 $O$ 为圆心的圆的一部分．如果 $M$ 是 $⊙ O$ 中弦 $CD$ 的中点， $EM$ 经过圆心 $O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $CD = 10$ ， $EM = 25.$ 求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 如图所示，把 $△ ABC$ 置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：

⑴画出 $△ ABC$ 向下平移5个单位长度得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

⑵画出 $△ ABC$ 绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

⑶画出 $△ ABC$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ．

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22. 如图，在 $△ ABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90^{\circ}$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 向过点 $A$ 的直线作垂线，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ．

(1)、如图①，过点 $A$ 的直线与斜边 $BC$ 不相交时，求证：① $△ ABE ≌ △ CAF ；$
② $EF = BE + CF$ ．

(2)、如图②，其他条件不变，过点 $A$ 的直线与斜边 $BC$ 相交时，若 $BE = 10$ ， $CF = 3$ ，试求 $EF$ 的长．

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23. 商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．

(1)、若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？

(2)、在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？

(3)、这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

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24. 如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.

(1)、求抛物线和直线AB的解析式；

(2)、求S_△CAB ；

(3)、设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB 面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)、设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S_△QAB＝S_△CAB ，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

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