重庆市主城区六校2021-2022学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1}$ ，则集合 $B = {x - y | x \in A ， y \in A}$ 中元素的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \geq 0 \\ f (x + 3) ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、5 B、3 C、2 D、-2

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3. $s i n 20 ° c o s 40 ° + s i n 70 ° s i n 40 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 设 $a = l o g_{3} 10$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = 0 . 8^{3.1}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 的减区间为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 1]$ D、 $[1 ， 4]$

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6. 下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = s i n x$ B、 $y = - t a n x$ C、 $y = c o s x$ D、 $y = | c o s x |$

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7. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，且 $f (1) = 0$ ，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0] ∪ [1 ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 1] ∪ [2 ， + \infty)$

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8. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在 $α$ 型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型 $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间 $t$ （单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ 、 $T$ 近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.22$ ， $T = 10$ .据此，在 $α$ 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至 $I (0)$ 的4倍，至少需要（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ）

A、6天 B、7天 C、8天 D、9天

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二、多选题

9. 下列说法错误的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $l o g_{3} x_{0} = 2$ B、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ D、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分条件

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ C、 $a > b > 0$ ，则 $a^{3} - b^{3} > a^{2} b - a b^{2}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 c o s (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (\frac{5 π}{6} - x)$ D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上无最小值

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12. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{6}{x - 2} ， x > 3 \\ x^{2} - 2 x + 3 ， 0 < x \leq 3 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[- 3 ， - 1]$ 和 $[1 ， 3]$ B、方程 $f (x) = \frac{5}{2}$ 的所有实数根之和为 $\frac{25}{6}$ C、方程 $f (x) = x$ 有两个不相等的实数根 D、当 $x \in (0 ， m]$ 时， $f (x)$ 的最小值为2，则 $m \in [1 ， 5]$

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x)$ 的图像过点 $(3, \sqrt{3})$ ，则 $f (8) =$ .

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14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分 $.$ 若弧田所在圆的半径为1，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则此弧田的面积为.

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15. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{2 y}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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16. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1} ， x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) \cdot g (x_{2}) = - 1$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ ，则 $φ =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | | x | \leq 3}$ ， $B = {x | 3 - a < x < a + 1}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知 $\frac{π}{2} < α < π$ ， $s i n α = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $s i n (α - \frac{π}{3})$ ；

(2)、若角 $β$ 的终边上有一点 $P (7 ， 1)$ ，求 $t a n (α + 2 β)$ .

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19. 从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、 $\forall x \in R$ ， $f (2 + x) = f (2 - x)$ ；
条件二、方程 $f (x) = 0$ 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4$ ；
条件三、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (2)$ .
已知函数 $f (x)$ 为二次函数， $f (- 1) = - 6$ ， $f (0) = - 1$ ， ____.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) + k x \leq 0$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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20. 已知 $f (x) = 4 c o s ω x \cdot s i n (ω x - \frac{π}{6}) + 1 (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求关于x的不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调区间.

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21. 已知函数 $f (x) = l g (3 - 3^{x}) + l g (3 - 3^{- x})$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、设函数 $g (x) = m x - 2$ ，若对任意的 $x_{2} \in [- 2 ， 1]$ ，总存在 $x_{1} \in (- 1 ， 1)$ 使得 $g (x_{2}) \leq f (x_{1})$ 成立，求实数m的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = | a x | - (x + a)^{2} + 3$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若 $x \in [a ， a + 1]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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