重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$

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2. 已知 $f (\frac{x}{2 x - 1}) = 2 x^{2} + 3$ ，则 $f (\frac{1}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{2}{9}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、5 D、-5

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3. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线 $l$ 上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线 $l$ 有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A、 $30 π$ B、 $\frac{100 π}{3}$ C、 $\frac{110 π}{3}$ D、 $40 π$

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4. 幂函数 $y = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 m - 1}$ 的图象不过原点，则（）

A、 $m = 3$ B、 $m = - 1$ C、 $m = 3$ 或 $m = - 1$ D、 $- 1 < m < 3$

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5. 若 $2^{l n a} + 5^{- l n b} \geq 2^{l n b} + 5^{- l n a}$ ，则（）

A、 $a \leq b$ B、 $a \geq b$ C、 $a b \geq 1$ D、 $a b \leq 1$

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6. 锐角三角形的内角 $B$ ､ $C$ 满足： $t a n B - t a n C = \frac{1}{s i n 2 B}$ ，则有（）

A、 $s i n 2 B - s i n C = 0$ B、 $s i n 2 B + s i n C = 0$ C、 $s i n 2 B - c o s C = 0$ D、 $s i n 2 B + c o s C = 0$

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7. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则 $y = f (x)$ 为偶函数的一个充要条件是（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) = 0$ 成立 B、函数 $y = f (x)$ 的图像关于原点成中心对称 C、存在某个 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (- x_{0}) - f (x_{0}) = 0$ D、对任意给定的 $x \in R$ ，都有 $f (- x) - f (x) = 0$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (s i n x) + c o s (c o s x)$ ，下列关于该函数结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $f (x)$ 是区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的增函数

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二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、存在实数 $α$ ，使 $s i n α \cdot c o s α = 1$ B、函数 $y = s i n (\frac{3 π}{2} + x)$ 是偶函数 C、若 $α$ 是第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第一象限或第三象限角 D、若 $α ， β$ 是第一象限角，且 $α > β$ ，则 $s i n α > s i n β$

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10. 已知函数 $y = a^{x}$ ， $y = b^{x} (a ， b > 0$ 且 $a \neq 1 ， b \neq 1)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b > 1$ B、 $0 < a < b < 1$ C、 $2^{a} < 2^{b}$ D、 $b > a > 1$

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11. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c - b = 2 b \cos A$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 B$ B、 $B$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{π}{4})$ C、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为 $(\sqrt{2} ， 2)$ D、 $\frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} + 2 \sin A$ 的取值范围为 $(\frac{5 \sqrt{3}}{3} ， 3)$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n | x | + \sqrt{3} | c o s x |$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{2}{3} π ， \frac{7}{6} π]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 是最小正周期为 $2 π$ 的周期函数 C、函数的最大值与最小值之和为1 D、函 $f (x)$ 在区间 $[- 8 ， 8]$ 内，共有4个零点

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三、填空题

13. 设集合 $A = {(x ， y) | y = x}$ ， $B = {(x ， y) | y = \frac{x + 3}{x - 1}}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $c o s (B - C) + 3 c o s A = 0$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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15. 已知定义域为R的函数 $f (x) = x^{3} + 3 s i n x$ ，满足 $f (1 - a) + f (1 - a^{2}) < 0$ ，则实数a的取值范围是．

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16. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $4 x^{2} + y^{2} = 1 + 2 x y$ ，则当 $x =$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{x y}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已知角 $α$ 终边与单位圆交于点 $P (\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$

(1)、求 $\frac{\cos 2 α}{1 + \tan α}$ 的值；

(2)、若 $\sin (β - α) = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若当 $x \in (1 ， 2)$ 时， $f (x) > m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；

(2)、在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $f (C) = 1$ ，且a、b是方程 $x^{2} - 3 \sqrt{2} x + 4 = 0$ 的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积．

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20. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象与 $g (x) = \log_{a} x (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，且 $g (x)$ 的图象过点 $(4 ， 2)$ .

(1)、若 $f (3 x - 1) > f (- x + 5)$ 成立，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若对于任意 $x \in [1 ， 4]$ ，不等式 $f (2 x) g (\frac{x}{4}) - m < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) + m$ （其中 $ω > 0$ ）的图象过点 $(\frac{5 π}{12} ， 1)$ ，且其相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求实数m的值及f（x）的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求f（x）的值域．

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 的最大值为5，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，若对任意实数 $t$ ，总存在 $x_{1}, x_{2} \in [t, t + 1]$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \geq 2$ .求 $a$ 的取值范围.

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