云南省玉溪市2021-2022学年高一上学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N^{*} | - 2 \leq x \leq 3}$ ，集合 $B = {x | x^{2} = 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${(- 1 ， 1)}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${1}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$

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2. 在半径为2的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} - e^{x - 2}$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 2 ， 3)$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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5. 幂函数 $y = x^{m^{2} + m - 2}$ $(0 \leq m \leq 3 ， m \in Z)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数，则 $m$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $2$ 和 $3$

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6. 函数 $f (x) = 2^{| x |}$ ， $g (x) = x^{4}$ ，则函数 $y = f (x) + g (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a = 0 . 4^{e}$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = l o g_{4} \frac{3}{4}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) = - f (x + 2)$ ，当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{2} \frac{3}{2}) =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{11}{3}$ C、 $- \frac{5}{3}$ D、 $- \frac{11}{3}$

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二、多选题

9. 可以作为 $(2 x + 3) (x - 5) > x^{2} - 5 x - 12$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x < - 2$ B、 $x < 1$ C、 $x > 4$ D、 $x > 2$

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10. 已知 $a > b > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \neq 1$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{n} > b^{n}$ ， $n \in Z$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $l o g_{a} b > l o g_{b} a$

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11. 下列选项中，在 $(0 ， + \infty)$ 为增函数的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = 2^{x} + x$ C、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ D、 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} x - 3 x$

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12. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $s i n θ c o s θ < 0$ B、 $s i n θ - c o s θ = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $s i n θ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 2) + l o g_{a} (2 - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的定义域为．

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14. 若正数x，y满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是．

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15. $\frac{3 - s i n 160 °}{1 + s i n^{2} 35 °}$ 的值等于．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} (x + 7) ， x \geq 2 \\ x^{2} + a x - 2 a - 2 ， x < 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 1 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ．则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 求解下列问题

(1)、化简（其中各字母均为正数）： $\frac{1}{6} a^{\frac{1}{3}} b^{- 2} \cdot (- 3 a^{\frac{1}{2}} b^{- 1}) \cdot 2 {(a^{- \frac{5}{3}} b^{6})}^{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、化简并求值： $l o g_{2} 5 \times l o g_{3} 4 \times l o g_{5} 27 + l o g_{2} (l o g_{2} 16)$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ， $B = {x | \frac{x - 5}{x + 3} \leq 0}$ ．

(1)、若 $a = - 3$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、在① $A ∩ B = \emptyset$ ， ② $B \cup (∁_{R} A) = R$ ， ③ $A \cup B = B$ ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s 2 x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、填上面表格并用“五点法”画出 $f (x)$ 在一个周期内的图象．

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20. 设关于x的二次函数 $f (x) = 2 m x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) > m - 10$ 在 $[0 ， 2]$ 上恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{3 (1 + 2^{x})} - \frac{1}{3}$ 为奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (f (x)) + f (\frac{31}{99}) < 0$ ．

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22. 某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为 $200$ 万元，每生产 $x$ 台 $(x \in N_{+})$ 需要另投入成本 $a (x)$ （万元），当年产量 $x$ 不足 $45$ 台时， $a (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 30 x - 300$ 万元，当年产量 $x$ 不少于 $45$ 台时， $a (x) = 61 x + \frac{2500}{x + 1} - 900$ 万元．若每台设备的售价为 $60$ 万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、年产量 $x$ 为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

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