云南省德宏州2021-2022学年高一上学期数学期末统一监测试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四个选项中正确的是（）

A、{1}∈{0，1} B、1⊆{0，1} C、∅∈{0，1} D、1∈{0，1}

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2. 函数 $f (x) = l g x + \sqrt{2 - x}$ 的定义域为（）

A、（0，2] B、[0，2] C、[0，2） D、（0，2）

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3. 下列命题正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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4. “对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} \geq 0$ ”的否定形式为（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} < 0$ B、不存在 $x \in R$ ，都有 $x^{2} < 0$ C、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} \geq 0$ D、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} < 0$

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5. 设 $a = l o g_{\frac{1}{5}} 6$ ， $b = {(\frac{1}{6})}^{0.2}$ ， $c = 5^{\frac{1}{6}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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6. 若 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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7. 函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{4})$ 的图像的一条对称轴是（）

A、 $x = \frac{π}{4}$ B、 $x = \frac{π}{2}$ C、 $x = - \frac{π}{4}$ D、 $x = - \frac{π}{2}$

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8. 方程 $l g x + x = 2$ 的解所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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9. “当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 为减函数”是“ $m = - 1$ 或2”的（）条件

A、既不充分也不必要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、充要

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10. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象（部分）如图所示，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$

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11. 已知 $y = f (x)$ 在定义域 $(- 1 ， 1)$ 上是减函数，且 $f (1 - a) < f (a^{2} - 1)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、（0，1） B、（-2，1） C、（0， $\sqrt{2}$ ） D、（0，2）

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列三个条件： ① $f (x + 3) = - \frac{1}{f (x)}$ ； ②对任意 $3 \leq x_{1} < x_{2} \leq 6$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ；③ $y = f (x + 3)$ 的图像关于 $y$ 轴对称．则下列结论中正确的是（）

A、 $f (3) < f (7) < f (4.5)$ B、 $f (7) < f (3) < f (4.5)$ C、 $f (7) < f (4.5) < f (3)$ D、 $f (3) < f (4.5) < f (7)$

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二、填空题

13. 求值： $(2 \frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - l o g_{3} \frac{1}{27} =$ .

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14. 若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在单位圆O上，设 $∠ x O P = α$ ，且 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ .若 $c o s (α + \frac{π}{4}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $x_{0}$ 的值为.

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16. 若将函数 $y = c o s x - \sqrt{3} s i n x$ 的图像向左平移 $m (m > 0)$ 个单位后所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ 2 x - 4 \geq x - 2}$

(1)、求 $∁_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、若集合 $C = {x ∣ 2 x + a > 0}$ 满足 $B ∪ C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (α) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + α) t a n (3 π - α) s i n (\frac{3}{2} π - α)}{s i n (π - α) s i n (\frac{3}{2} π + α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 是第四象限角，且 $s i n α = - \frac{1}{4}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} c o s 2 x$

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若不等式 $f (x) - m < 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并进行证明；

(2)、若实数 $a$ 满足 $2 f (l o g_{2} a) + f (l o g_{\frac{1}{2}} a) + f (- 1) \leq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 设 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x - x^{2}$ .

(1)、求当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式；

(2)、请问是否存在这样的正数 $a$ ， $b$ ，当 $x \in [a ， b]$ 时， $g (x) = f (x)$ ，且 $g (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{b} ， \frac{1}{a}]$ ？若存在，求出 $a$ ， $b$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)、当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

(2)、当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

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