天津市河西区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {1 ， 2} ， B = {2 ， 3}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B)$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 4}$ B、 ${3 ， 4}$ C、 ${3}$ D、 ${4}$

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2. 已知命题 $p$ ：角 $θ$ 为第二或第三象限角，命题 $q$ ： $s i n θ + t a n θ < 0$ ，命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设命题 $p$ ： $\exists n \in N, n^{2} > 2 n + 5$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall n \in N, n^{2} > 2 n + 5$ B、 $\forall n \in N, n^{2} \leq 2 n + 5$ C、 $\exists n \in N, n^{2} \leq 2 n + 5$ D、 $\exists n \in N, n^{2} = 2 n + 5$

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4. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m³的部分
3元/m³
超过12m³但不超过18m³的部分
6元/m³
超过18m³的部分
9元/m³
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）

A、17 $m^{3}$ B、18 $m^{3}$ C、19 $m^{3}$ D、20 $m^{3}$

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5. $0 . 3^{2}$ ， $2^{0.3}$ ， $l o g_{2} 0.3$ 这三个数之间的大小顺序是（）

A、 $0 . 3^{2} < 2^{0.3} < l o g_{2} 0.3$ B、 $0 . 3^{2} < l o g_{2} 0.3 < 2^{0.3}$ C、 $l o g_{2} 0.3 < 0 . 3^{2} < 2^{0.3}$ D、 $l o g_{2} 0.3 < 2^{0.3} < 0 . 3^{2}$

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6. 将函数 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向右平行移动 $\frac{π}{10}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{10})$ B、 $y =$ $\sin (2 x - \frac{π}{5})$ C、 $y =$ $\sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{10})$ D、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{20})$

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7. 若一元二次不等式 $k x^{2} - 2 x + k < 0$ 的解集为 ${x | x \neq m}$ ，则 $m + k$ 的值为（　　）

A、 $- 1$ B、0 C、 $- 2$ D、2

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8. 若函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x - k}$ 在区间 $(- 2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 ${- 2}$ C、 $(- \infty ， - 2]$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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9. 已知定义域为 $(0 ， + ∞)$ 的单调递增函数 $f (x)$ 满足： $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (f (x) - l n x) = 1$ ，则方程 $f (x) = - x^{2} + 4 x - 2$ 的解的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

10. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 4 m ， 3 m) (m < 0)$ ，则 $2 s i n α + c o s α$ 的值是.

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11. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为

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12. 已知 $s i n (\frac{7 π}{2} + α) = - \frac{4}{5}$ ，那么 $c o s α$ 的值为.

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13. 已知 $x > 0$ ，则函数 $y = 2 - 3 x - \frac{4}{x}$ 的最大值是．

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14. 下列四个命题中：
①若奇函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上单调递减，则它在 $[- b ， - a]$ 上单调递增
②若偶函数 $g (x)$ 在 $[a ， b]$ 上单调递减，则它在 $[- b ， - a]$ 上单调递增；
③若函数 $f (x + 1)$ 为奇函数，那么函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称；
④若函数 $f (x - 1)$ 为偶函数，那么函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 轴对称；
正确的命题的序号是 .

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15. 若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x) - 2$ ．则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ，若 $f (m + 1) < f (2 - m)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 计算下列各式：

(1)、 $4 a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{3}} \div (- \frac{2}{3} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{1}{3}})$ （式中字母均为正数）；

(2)、 $l o g_{2} 25 \times l o g_{3} 4 \times l o g_{5} 9$ .

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17. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A s i n (ω x + φ) + b$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）.

(1)、求这一天6~14时的最大温差；

(2)、写出这段曲线的解析式；

(3)、预测当天12时的温度（ $\sqrt{2} \approx 1.4$ ，结果保留整数）.

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18. 已知 $f (x) = 2 s i n x c o s x - 2 \sqrt{3} c o s^{2} x + \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的最值并写出取最值时自变量的值；

(3)、若函数 $y = f (x + θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ 为偶函数，求 $θ$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + b$ （ $a$ ， $b \in R$ ）．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 3)$ ，求不等式 $b x^{2} - a x + 4 < 0$ 的解集；

(2)、若 $b = 1$ ， $a > 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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20. 已知 $f (x) = x^{2} + (a + 1) x + l g | a + 2 | (a \neq - 2 ， a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 能表示成一个奇函数 $g (x)$ 和一个偶函数 $h (x)$ 的和，求 $g (x)$ 和 $h (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(- \infty ， {(a + 1)}^{2})$ 上都是减函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，比较 $f (1)$ 和 $\frac{1}{6}$ 的大小.

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每户每月用水量	水价
不超过12m³的部分	3元/m³
超过12m³但不超过18m³的部分	6元/m³
超过18m³的部分	9元/m³