天津市部分区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $S = {1 ， 3 ， 5} ， T = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{U} S) \cup T =$ （）

A、{3，5} B、{2，4} C、{1，2，3，4，5} D、{2，3，4，5，6}

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + x + 2 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + x + 2 < 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + x + 2 < 0$ C、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + x + 2 < 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + x + 2 < 0$

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3. 函数 $f (x) = e^{x} - \frac{3}{x}$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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4. 已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（）

A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm

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5. “ $α = \frac{π}{3}$ ”是“ $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $a = l o g_{3} \frac{1}{2} ， b = l o g_{2} \sqrt{3} ， c = 0 . 3^{- 0.5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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7. 下列说法中，正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、函数 $f (x) = x^{2}$ 与函数 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ 是同一个函数 C、设点 $P (- 3 ， 4)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则 $c o s α = \frac{4}{5}$ D、幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(\sqrt{2} ， 2)$ ，则 $f (3) = 9$

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8. 函数 $f (x) = 2 x \cdot t a n x (- 1 \leq x \leq 1)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列运算中，正确的是（）

A、 $3^{l o g_{3} 2} = 9$ B、 $a^{2} \cdot \sqrt{a^{3}} = a^{3} (a > 0)$ C、 $\sqrt[3]{{(- 3)}^{3}} + 8^{\frac{2}{3}} = 1$ D、 ${(\frac{2}{3})}^{- 2} + l g \frac{1}{100} = - \frac{22}{9}$

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10. 已知函数 $f (x) = 4 c o s (\frac{π}{2} - \frac{ω x}{2}) \cdot c o s (\frac{ω x}{2} - \frac{π}{6}) - 1 (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增，且在区间 $[0 ， π]$ 上只取得一次最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{3}{4}]$ B、 $(0 ， \frac{8}{9}]$ C、 $[\frac{2}{3} ， \frac{8}{9}]$ D、 $[\frac{3}{4} ， \frac{8}{9}]$

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二、填空题

11. $c o s 51 0^{∘} =$ .

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12. 已知 $t a n (α - \frac{π}{4}) = - 7$ ，则 $t a n α =$ .

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13. 将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{12})$ 图象上的所有点向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，则所得图象的函数解析式为.

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14. 函数 $y = l o g_{a} (x - 1) + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为；若点 $A$ 在函数 $y = m x + n - 1$ 的图象上，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则 $m n$ 的最大值为.

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15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心 $O$ 为原点，过点 $O$ 的水平直线为 $x$ 轴建立如图直角坐标系 $x O y$ . 已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周， $O$ 到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒 $M$ 对应的点 $P$ 从水中浮现（ $P_{0}$ 时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒 $M$ 从点 $P_{0}$ 运动到点 $P$ 时所经过的时间为 $t$ （单位：s），且此时点 $P$ 距离水面的高度为 $d$ （单位：m）（在水面下则 $d$ 为负数），则 $d$ 关于 $t$ 的函数关系式为，在水轮转动的任意一圈内，点 $P$ 距水面的高度不低于1.6m的时长为s.

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三、解答题

16. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5} ， α \in (\frac{π}{2} ， π)$ .

(1)、求 $t a n α$ ， $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $c o s (α - \frac{π}{3})$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (2)$ ， $f (f (- 1))$ 的值；

(2)、在给定的坐标系中，画出 $f (x)$ 的图像（不必列表）；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 恰有3个不相等的实数解，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (3 x^{2} + a x - 1)$ ， $a \in R$ ，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的定义域；

(3)、求不等式 $f (x) < 2$ 的解集.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、用函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；

(3)、若对 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ，不等式 $f (2^{x}) \leq m \cdot 2^{x} - 5$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x + \sqrt{3} c o s^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求：
（ⅰ） $f (x)$ 的单调递减区间；
（ⅱ） $f (x)$ 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量 $x$ 的值.

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