四川省自贡市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a \in {2 ， a^{2} - a}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、2 C、0或2 D、-2

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2. 函数 $y = \sqrt{2 x} + \frac{4}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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3. 角 $α$ 的终边过点 $P (12 ， 5)$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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4. 下列等式中，正确的是（）

A、 $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ B、 $2 - l o g_{2} 3 = \frac{2}{3}$ C、 $\sqrt[6]{{(- 5)}^{2}} = {(- 5)}^{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt[3]{2 \sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{2}}$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，在区间 $[0 ， + ∞)$ 上为增函数，则不等式 $f (l o g_{\frac{1}{2}} x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = c o s x$ B、 $f (x) = c o s^{2} x$ C、 $y = | t a n x |$ D、 $f (x) = s i n | x |$

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7. 已知角 $α$ 与角 $β$ 的终边关于直线 $y = x$ 对称，且 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 β$ 等于（）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 今有一组实验数据如下：
x
2
3
4
5
6
y
1.5
2.01
2.98
5.02
8.98
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（）

A、 $y = 3 l o g_{3} x$ B、 $y = 2^{x - 3} + 1$ C、 $y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2}$ D、 $y = 2 x - 2$

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9. 已知函数 $f (x) = - c o s 2 x - \sqrt{3} s i n 2 x$ ，将 $f (x)$ 的图象上所有点沿x轴平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $θ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 为R上的偶函数，若对于 $x \geq 0$ 时，都有 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x + 1)$ ，则 $f (- 2021) + f (2022)$ 等于（）

A、1 B、-1 C、 $l o g_{2} 6$ D、 $l o g_{2} \frac{3}{2}$

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11. 点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O､P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} + 1$ 对于定义域内任意 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 下述四个结论中，
① $f (0) = 2$
② $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$
③ $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$
④ $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$
其中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. $t a n 225 ° =$ .

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14. $2^{l o g_{2} 3} + l g 4 + 2 l g 5 =$ .

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15. 已知 $f (x) = s i n x + c o s x$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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16. 已知一容器中有 $A ， B$ 两种菌，且在任何时刻 $A ， B$ 两种菌的个数乘积为定值 $1 0^{10}$ ，为了简单起见，科学家用 $p_{A} = l g n_{A}$ 来记录 $A$ 菌个数的资料，其中 $n_{A}$ 为 $A$ 菌的个数，现有以下几种说法：
① $p_{A} \geq 1$ ；
②若今天的 $p_{A}$ 值比昨天的 $p_{A}$ 值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时 $5 < p_{A} < 5.5$ (注： $l g 2 \approx 0.3$ )．
则正确的说法为． (写出所有正确说法的序号)

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | y = l g (2 - x)}$ .

(1)、求 $∁_{U} (A ∪ B)$ ；

(2)、若集合 $C = (0 ， a)$ ，且 $C \subseteq A ∩ B$ ，求实数a的取值范围.

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18. 如图是函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $c o s^{4} α - s i n^{4} α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $f (α)$ .

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19. 已知 $f (x) = a - \frac{2}{2^{- x} + 1} (x \in R)$ ，且函数 $f (x)$ 是奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数的单调性，并证明.

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20. 如图，有一块半径为4的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，连接OC两点，OC与OB所形成的夹角为 $θ$ .

(1)、写出这个梯形周长y和 $θ$ 的函数解析式，并写出它的定义域；

(2)、求周长y的最大值以及此时梯形的面积.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期和单调递减区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象，已知 $g (x_{0}) = \frac{23}{13}$ ， $x_{0} \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，求 $c o s 2 x_{0}$ 值.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) - \frac{x}{2}$ 与 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

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x	2	3	4	5	6
y	1.5	2.01	2.98	5.02	8.98