陕西省西安市阎良区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $N = {- 2 ， 0 ， 1 ， 3}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 3}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} - \sqrt{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $[- 2, - 1) \cup (- 1, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 2, - 1)$

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3. 已知 $l o g_{a} b < l o g_{a} (b - 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $a > b$ D、 $0 < a < b$

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4. 平面α与平面β平行的条件可以是（　　）

A、α内有无穷多条直线与β平行 B、直线a∥α，a∥β C、直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D、α内的任何直线都与β平行

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5. 过原点和直线 $l_{1} ： x - 3 y + 4 = 0$ 与 $l_{2} ： 2 x + y + 5 = 0$ 的交点的直线的方程为（）

A、 $19 x - 9 y = 0$ B、 $9 x + 19 y = 0$ C、 $3 x + 19 y = 0$ D、 $19 x + 3 y = 0$

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6. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $- 3 x^{2} - 2 x - 1$ B、 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ C、 $3 x^{2} + 2 x - 1$ D、 $3 x^{2} - 2 x - 1$

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7. 设 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = 3^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > b > c$

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8. 函数 $f (x) = \frac{l n | x |}{x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的位置关系为（）

A、相离 B、相交 C、外切 D、内切

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10. 若函数 $f (x) = | 2^{x} - 4 | - a$ 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $24 - 2 \sqrt{2}$ B、 $24 + 2 \sqrt{2}$ C、 $19 + 2 \sqrt{2}$ D、 $19 - 2 \sqrt{2}$

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12. 香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式 $C = B l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ 来表示，其中 $C$ 是信道支持的最大速度或者叫信道容量， $B$ 是信道的带宽（ $H z$ ），S是平均信号功率（ $W$ ）， $N$ 是平均噪声功率（ $W$ ）．已知平均信号功率为 $1000 W$ ，平均噪声功率为 $10 W$ ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（）

A、 $0.1 W$ B、 $1.0 W$ C、 $3.2 W$ D、 $5.0 W$

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二、填空题

13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 的夹角为．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + l o g_{2} (2 - x) ， x < 1 \\ 2^{x - 1} ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 2) + f (l o g_{2} 6) =$ .

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15. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + y - 1 = 0 ， l_{2} ： 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为.

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16. 边长为3的正方形 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 上， $O A$ 与对角线 $A C$ 的夹角为45°，则球 $O$ 的体积为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l ： x - y + 1 = 0$ ，点 $A (- 1 ， - 2)$ .

(1)、求过点 $A$ 且与 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像经过点 $(2 ， 16)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 m + 5) < f (3 m + 3)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F$ 为棱 $A D$ 、 $A B$ 的三等分点（靠近A点）.

求证：

(1)、EF∥平面CB₁D₁；

(2)、求证：平面 $C A A_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 5 (a > 1)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[1 ， a]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 2]$ 上是减函数，且对任意的 $x \in [1 ， a + 1]$ ，总有 $f {(x)}_{m a x} - f {(x)}_{m i n} \leq 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围.（可能用到的不等关系参考：若 $m > n$ ，且 $(x - m) (x - n) \leq 0$ ，则有 $n \leq x \leq m$ ）

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21. 如图，已知 $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B E F$ 为矩形，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B / / C D$ ， $A D = A F = C D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求三棱锥 $E - B C F$ 的体积.

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22. 已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线 $y = \frac{4}{3} x$ 上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．

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