青海省西宁市大通回族土族自治县2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列命题中正确的是（）

A、第一象限角小于第二象限角 B、锐角一定是第一象限角 C、第二象限角是钝角 D、平角大于第二象限角

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2. 已知集合 $M = {x | - 3 < x \leq 2} ， N = {x | x \leq 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 3 < x \leq 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$

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3. 若 $y = (a^{2} - 3 a + 3) a^{x}$ 是指数函数，则有（）

A、 $a = 1$ 或 $2$ B、 $a = 1$ C、 $a = 2$ D、 $a > 0$ 且 $a \neq 1$

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4. 如图，在正 $△ A B C$ 中， $D ， E ， F$ 均为所在边的中点，则以下向量和 $\vec{F C}$ 相等的是（）

A、 $\vec{E F}$ B、 $\vec{B E}$ C、 $\vec{D F}$ D、 $\vec{E D}$

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5. 下列说法不正确的是（）

A、奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B、偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交 C、若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 0$ D、若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点

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6. 已知函数 $f (x) = x^{5} + a x^{3} + b x - 8$ ，且 $f (- 2) = 10$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $- 26$ B、 $26$ C、 $- 10$ D、 $18$

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7. 为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统 $(P r i v a t e K e y C r y p t o s y s t e m)$ ，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为 $y = k x^{3}$ ，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ $\frac{1}{256}$ ”，则解密后得到的明文是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、 $\frac{1}{8}$

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8. 设 $a = 0 . 3^{\sqrt{2}}$ ， $b = (\sqrt{2})^{0.3}$ ， $c = l o g_{0.3} \sqrt{2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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9. $s i n 45 ° \cdot c o s 15 ° + c o s 225 ° \cdot s i n 15 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 在边长为3的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D B}$ =（）

A、 $- \frac{17}{2}$ B、-1 C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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12. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + 2 m - 5}$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、等于0 D、无法判断

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二、填空题

13. 已知角 $θ$ 的终边过点 $(1 ， - 2)$ ，则 $t a n θ =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2011 ， | \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4022$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 8)$ 的值域是．

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16. 设常数 $a$ 使方程 $s i n x + \sqrt{3} c o s x = a$ 在闭区间 $[0 ， 2 π]$ 上恰有三个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则实数 $a$ 的取值集合为， $x_{1} + x_{2} + x_{3} =$ ．

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $B = {x | x < - 3$ 或 $x > 1}$
求：

(1)、 $A ∩ B$

(2)、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ .

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18. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ．

(1)、若 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{b} | = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $π$ ，求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b})$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + m x$ ，函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - a = 0$ 有 $4$ 个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并加以证明；

(2)、求函数的值域．

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21. 已知 $\frac{π}{2} < α < π$ ， $s i n α = \frac{4}{5}$ ．

(1)、分别求 $t a n α$ ， $s i n (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若角 $β$ 终边上一点 $P (7 ， 1)$ ，求 $t a n (2 α + β)$ 的值．

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22. 设函数 $f (x) = s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x - 1$ ．

(1)、设 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x + φ) + 4 m (m \in R) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 为偶函数，求 $φ$ 的值，并求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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