江苏省南通市如东县2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x < 3}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | 0 < x < 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. “ω＝2”是“π为函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{3 π}{20})$ 的最小正周期”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知指数函数 $f (x) = a^{- x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），且 $f (- 2) > f (- 3)$ ，则 $a$ 的取值范围（　　）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， 0)$

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4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 $\frac{π}{4}$ 米，肩宽约为 $\frac{π}{8}$ 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）

A、1.012米 B、1.768米 C、2.043米 D、2.945米

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5. 若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（）
①logax²＝2logax；②logax²＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.

A、②④ B、①③ C、①④ D、②③

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6. 已知 $a = \log_{5} 2 ， b = \log_{8} 3 ， c = \frac{1}{2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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7. 函数 $f (x) = \sin x \cdot \ln | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 3$ ， $f (3) = 9$ ，则不等式 $f (x) > 3 x$ 的解集为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 已知命题p：关于x的不等式 $x^{2} - 2 a x - a > 0$ 的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（）

A、 $- 1 < a < - \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3} < a < 0$ C、 $- 1 \leq a \leq 0$ D、 $a \geq - 1$

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10. 下列不等式正确的是（）

A、若 $x < 0$ ，则 $x + \frac{1}{x} \leq - 2$ B、若 $x \in R$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} \geq 2$ C、若 $x \in R$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + 1} < 1$ D、若 $x > 0$ ，则 $(1 + x) (1 + \frac{1}{x}) \geq 4$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 下列说法正确的是（　　）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 图象右移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象

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12. 给出下列结论，其中正确的结论是（）

A、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{- x^{2} + 1}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、已知函数 $y = l o g_{a} (2 - a x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C、在同一平面直角坐标系中，函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = l o g_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、若 $3^{a} = 4^{b} = 36$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为1

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{x^{2} + 3 x}$ 的单调递减区间为

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14. 已知函数 $f (x) = s i n x (x \in [0 ， π])$ 和函数 $g (x) = \frac{1}{3} t a n x$ 的图像相交于 $A ， B ， C$ 三点，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 不等式 $x^{2} + 8 y^{2} \geq λ y (x + y)$ 对于任意的x，y∈R恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \in [0 ， \frac{1}{2}) \\ 3 x^{2} ， x \in [\frac{1}{2} ， 1] \end{array}$ ，若存在 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} \cdot f (x_{2})$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 是第________象限角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

(1)、求 $\cos α ， \tan α$ 的值；

(2)、化简求值： $\frac{\sin (π - α) \cos (- α) \sin (\frac{3}{2} π + α)}{\cos (2020 π + α) \tan (2020 π - α)}$ .

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18. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性定义证明．

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19. $2021$ 年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为 $200$ 万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元， $x$ 为年产量 $($ 单位：万箱 $)$ ；已知 $p (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 360 x ， 0 \leq x < 60 \\ 410 x + \frac{81000}{x} - 3000 ， x \geq 60 \end{array} .$ 通过市场分析，如若每万箱售价 $400$ 万元时，该厂年内生产的商品能全部售完． $($ 利润 $=$ 销售收入 $-$ 总成本 $)$

(1)、求年利润与 $y ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x ($ 万箱 $)$ 的函数关系式；

(2)、求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

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20. 函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) = a - 1$ 在 $x \in [0 ， \frac{7 π}{4}]$ 上有两个解，求a的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 2$ ， $g (x) = x + 1$ ．用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ．已知关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 2)$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值，并写出 $M (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $M (x_{0}) \leq l o g_{\frac{1}{2}} (\frac{2 k - 1}{k + 1})$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 定义：若对定义域内任意x，都有 $f (x + a) > f (x)$ （a为正常数），则称函数 $f (x)$ 为“a距”增函数．

(1)、若 $f (x) = 2^{x} - x$ ， $x \in$ (0， $+ \infty$ )，试判断 $f (x)$ 是否为“1距”增函数，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x + 4$ ， $x \in$ R是“a距”增函数，求a的取值范围；

(3)、若 $f (x) = 2^{x^{2} + k | x |}$ ， $x \in$ (﹣1， $+ \infty$ )，其中k $\in$ R，且为“2距”增函数，求 $f (x)$ 的最小值．

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