江苏省南通市海安市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已如集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {2 ， 4 ， 5}$ ， $B = {1 ， 3}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${6}$ B、 ${2 ， 4 ， 6}$ C、 ${2 ， 4 ， 5}$ D、 ${2 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 已知 $P (1 ， 3)$ 为角 $α$ 终边上一点，则 $\frac{2 s i n α - c o s α}{s i n α + 2 c o s α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{7}$ B、1 C、2 D、3

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3. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 1$ B、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} \geq 1$ C、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ D、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} < 1$

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4. 图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬 $23 ° 2 6^{'}$ ）在某地利用一表高为 $2 d m$ 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为 $2.98 d m$ ，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据： $t a n 34 ° \approx 0.67$ ， $t a n 56 ° \approx 1.49$ ）

A、 $23 ° 2 6^{'}$ B、 $32 ° 3 4^{'}$ C、 $34 °$ D、 $56 °$

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5. 若 $α$ ， $β$ 的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（）

A、 $s i n α + s i n β = 0$ B、 $c o s α + c o s β = 0$ C、 $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 0$ D、 $t a n α - t a n β = 0$

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6. 设P为函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象上一点，O为坐标原点，则 $| O P |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2 \sqrt{2} + 2}$

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7. $a = s i n 1$ ， $b = l g s i n 1$ ， $c = 1 0^{s i n 1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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8. 函数 $g (x) = f (x) - f (- x) + 1$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 设 $a > b > 0 > c$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $c - a < c - b$ C、 $a b > c^{2}$ D、 $a^{- 1} c > b^{- 1} c$

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10. 下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（）

A、前3个月的月产量逐月增加 B、第5月的月产量比第4个月少 C、第6月的月产量与第5个月持平 D、第3个月结束后开始减产，直至停产

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11. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .下列选项中，满足 $M^{2} - 2 N$ 为定值（与a，x的取值均无关）的是（）

A、 $M = s i n a x + c o s a x$ ， $N = s i n a x c o s a x$ B、 $M = \sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}$ ， $N = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ C、 $M = a^{x} + a^{- x}$ ， $N = \frac{1}{2} (a^{2 x} + a^{- 2 x})$ D、 $M = l o g_{a} x + l o g_{a} \frac{a}{x}$ ， $N = \frac{1}{2} l o g_{a} x l o g_{a} \frac{a}{x}$

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在区间 $[0 ， 1]$ 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (0) \cdot f (1) < 0$ ，则 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内至少有一个零点 B、若 $f (0) \cdot f (1) > 0$ ，则 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内没有零点 C、若 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内没有零点，则必有 $f (0) \cdot f (1) \geq 0$ D、若 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内有唯一零点， $f (0) \cdot f (1) < 0$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上是单调函数

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三、填空题

13. $e^{l n 3} + l o g_{\sqrt{2}} 8 + {(0.25)}^{- \frac{1}{2}}$ 的值为.

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14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x) =$ .（注： $f (x)$ 不是常数函数）
① $f (0) = \frac{1}{2}$ ；② $f (x + π) = f (x)$ .

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15. 若正数a，b满足 $a - b^{2} = 2 l n b - l n a$ ，则 $b - a$ 的最大值为.

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16. 某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重 $10 g$ /个，次品重 $11 g$ /个.现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品.将这10袋产品从1～10编号，从第i号袋中取出i个产品 $(i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ ，则共抽出个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量 $w = 558 g$ ，则次品袋的编号为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | [x - (a - 1)] [x - (a + 1)] < 0}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象时两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得函数 $g (x)$ 的图象关于y轴对称.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{3}{5}$ ，求 $s i n (2 x_{0} - \frac{π}{6}) + c o s (2 x_{0} - \frac{2 π}{3})$ 的值.

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19. 设函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a > b > 0)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象C过点 $P (1 ， 3)$ ，直线 $y = 4$ 与图象C交于A，B两点，且 $| A B | = \sqrt{2}$ ，求a，b；

(2)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，根据定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ 上单调递增.

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20. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 $A B C D$ ，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 $1440 c m^{2}$ .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 $2 c m$ .设直角梯形的高为 $x c m$ .

(1)、当 $x = 20$ 时，求海报纸的面积；

(2)、为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 $A B C D$ 的面积最小）？

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x} - 2 x - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求 $f (0)$ 的值，并证明 $f (x)$ 不是奇函数；

(2)、若 $a = e^{\frac{1}{2}}$ ，其中e是自然对数的底数，证明： $f (x)$ 存在不为0的零点 $x_{0}$ ，并求 $[x_{0} + \frac{1}{2}]$ .
注：设x为实数， $[x]$ 表示不超过x的最大整数.
参考数据： $e^{2} \approx 7.39$ ， $e^{3} \approx 20.09$ ， $e^{4} \approx 54.60$ ， $e^{5} \approx 148.41$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = 4 - | x - a |$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象的一个交点的横坐标为2，求a；

(2)、若 $a \geq \frac{9}{2}$ ，求证： $f (x) \geq g (x)$ .

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