湖南省长沙市宁乡市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 3} ， B = {x | x^{2} - 5 x + 6 < 0}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A \subseteq B$ D、 $A ∪ B = R$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | \geq - x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $| x | < - x$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $| x | \geq - x$ C、 $\exists x \in R$ ， $| x | < - x$ D、 $\exists x < 0$ ， $| x | = - x$

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3. 已知 $a = l o g_{0.2} 2$ ， $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ ， $c = 3^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 1 \\ - x + 3 ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 设 $A = \frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 是正实数，且 $a \neq b$ ， $B = - x^{2} + 4 x - 2$ ，则 $A$ 与 $B$ 的大小关系是（）

A、 $A \geq B$ B、 $A > B$ C、 $A < B$ D、 $A \leq B$

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6. 下列函数中，值域是 $(0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ B、 $y = \frac{x + 2}{x + 1} (x \in (0, + \infty))$ C、 $y = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} (x \in N)$ D、 $y = \frac{1}{| x + 1 |}$

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7. 设函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ 与 $g (x) = 3 - x$ 的图象的交点为 $(x_{0} ， y_{0})$ ，则 $x_{0}$ 所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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8. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（）

A、 $y = - c o s 2 x$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{5 π}{6})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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二、多选题

9. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(27 ， 3 \sqrt{3})$ ，若 $f (t + 1) = 3$ ，则（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x)$ 的图象经过点 $(4 ， 2)$ C、 $f (x)$ 是增函数 D、 $t = 8$

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10. 下列选项中，与 $\sin (- \frac{11}{6} π)$ 的值相等的是（）

A、 $2 \cos^{2} 15^{o} - 1$ B、 $\cos 18^{o} \cos 42^{o} - \sin 18^{o} \sin 42^{o}$ C、 $2 \sin 15^{o} \sin 75^{o}$ D、 $\frac{\tan 30^{o} + \tan 15^{o}}{1 - \tan 30^{o} \tan 15^{o}}$

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11. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 a x + b | ，$ $x \in R$ ，给出下列命题，其中是真命题的是（）

A、若 $a^{2} - b \leq 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[a ， + \infty)$ 上是增函数 B、存在 $a \in R$ ，使得 $f (x)$ 为偶函数 C、若 $f (0) = f (2)$ ，则 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 D、若 $a^{2} - b - 2 > 0$ ，则函数 $h (x) = f (x) - 2$ 的图像与 $x$ 轴有两个交点．

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin (π + x) \cos x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 2]$ D、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到函数 $y = f (x)$ 的图象

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} + a$ 的零点为1，则实数a的值为．

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14. 化简： $s i n 40 ° (t a n 10 ° - \sqrt{3}) ＝$ .

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15. 奇函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的减函数，若 $f (2 a + 1) + f (4 a - 3) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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16. 已知 $0 < a < 1 ， k \neq 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x \geq 0 \\ k x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) － k$ 有两个零点，则实数k的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 1}$ ， $C = {x \in N | x \leq 3}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cap C$ .

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18. 正数x，y满足 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ .

(1)、求xy的最小值；

(2)、求x＋2y的最小值．

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19. 已知 $f (x) = l o g_{2} (1 + x) + l o g_{2} (1 - x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并加以说明；

(3)、求 $f (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的值.

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20. 已知 $t a n 2 α = - 2 \sqrt{2}$ ，且满足 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ，求： $\frac{2 c o s^{2} \frac{α}{2} - s i n α - 1}{\sqrt{2} s i n (\frac{π}{4} + α)}$ 的值

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21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ ，在同一周期内，当 $x = \frac{π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最大值3；当 $x = \frac{7 π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最小值 $- 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(3)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 时，函数 $h (x) = 2 f (x) + 1 - m$ 有两个零点，求实数m的取值范围.

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22. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y $= \frac{1}{2} x^{2} -$ 200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)、该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)、该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

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