湖北省武汉市东湖高新区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | 0 < x < 2}$ ，则集合 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $[2 ， 4)$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的图像是连续的，根据如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
$f (x)$
23
9
-7
11
-5
-12
-26
函数在区间 $[1 ， 6]$ 上的零点至少有（）．

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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3. 下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是（）

A、 $y = t a n 2 x$ B、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$ C、 $y = | s i n x |$ D、 $y = c o s (\frac{3}{2} π - 2 x)$

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4. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5. 已知函数 $f (x) = 2 + l o g_{\sqrt{3}} t a n x$ ， $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ ，则函数 $y = f (x)$ 的值域为（）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[1 ， 3)$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[2 ， 3)$

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6. 素数也叫质数,部分素数可写成“ $2^{n} - 1$ ”的形式（ $n$ 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“ $2^{n} - 1$ ”形式（ $n$ 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第 $51$ 个梅森素数是 $P = 2^{82589933} - 1$ ,它是目前最大的梅森素数.已知第 $8$ 个梅森素数为 $P = 2^{31} - 1$ ,第 $9$ 个梅森素数为 $Q = 2^{61} - 1$ ,则 $\frac{Q}{P}$ 约等于（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）（）

A、 $10^{7}$ B、 $10^{8}$ C、 $10^{9}$ D、 $10^{10}$

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7. 设p：关于x的方程 $4^{x} - 2^{x + 1} - a = 0$ 有解；q：函数 $f (x) = l o g_{2} (x + a - 1)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上恒为正值，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x ， 0 \leq x \leq π \\ l o g_{2022} (x - π + 1) ， x > π \end{array}$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c - 2 π$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2021)$ B、 $(0 ， 2022)$ C、 $(1 ， 2022)$ D、 $[0 ， 2022]$

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二、多选题

9. 下列运算中正确的是（）

A、 $\frac{l o g_{3} 8}{l o g_{3} 5} = l o g_{8} 5$ B、 ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{(3 - π)^{2}} = 3 - π$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{- l o g_{2} 7} + l n (l n e) = 7$

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10. 在下列四个命题中，正确的是（）

A、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充要条件

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11. 下列命题中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $c o s (A + B) = c o s C$ B、若角 $α$ 是第三象限角，则 $\frac{α}{3}$ 可能在第三象限 C、若 $t a n θ = 2$ ，则 $s i n^{2} θ - 2 c o s^{2} θ = \frac{2}{5}$ D、锐角 $α$ 终边上一点坐标为 $P (- c o s 2 ， s i n 2)$ ，则 $α = π - 2$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (- 3) < f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty ， 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ，则 $x \in (- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists m \in R$ ，使得 $f (x) \geq m$

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三、填空题

13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为平方步.

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14. 若函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 1$ 在区间 $(- \infty ， 6)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + π) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x) = 2 s i n x$ ，则 $f (- \frac{13}{3} π) + f (\frac{9}{4} π) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = l g (a x - 3)$ 的图象经过定点 $(2 ， 0)$ ，若 $k$ 为正整数，那么使得不等式 $2 f (x) > l g (k x^{2})$ 在区间 $[3 ， 4]$ 上有解的 $k$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，集合 $A = {x | 1 - a < x \leq 3 a + 1}$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $x \in [\frac{\sqrt{2}}{2} ， 2]$ 时， $f (x)$ 的值域为集合 $B$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数f(x)＝ $\frac{3^{x} + a}{3^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = | x - 2 |$ .

(1)、求方程 $f (x) = g (x)$ 的解集；

(2)、定义： $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ .已知定义在 $[0 ， + ∞)$ 上的函数 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，求函数 $h (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数 $h (x)$ 的简图，并根据图象写出函数 $h (x)$ 的单调区间和最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x + \frac{π}{6})$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期以及单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值及相应的 $x$ 的值.

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21. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $2 \leq t \leq 20$ ， $t \in N^{*}$ ，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当 $10 \leq t \leq 20$ 时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $(10 - t)$ 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为 $p (t)$ .

(1)、求 $p (t)$ 的解析式；

(2)、若该时段这条线路每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 3360}{t} - 360$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

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22. 已知 $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2 l o g_{2} (1 - x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 及 $g (x)$ 的解析式及定义域；

(2)、如果函数 $F (x) = 2^{g (x)}$ ，若函数 $y = F (| 2^{x} - 1 |) - 3 k \cdot | 2^{x} - 1 | + 2 k$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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x	1	2	3	4	5	6	7
$f (x)$	23	9	-7	11	-5	-12	-26