湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y ∣ y = 2^{x}} ， N = {y ∣ y = \sqrt{1 - x^{2}}}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ B、 ${x ∣ 0 < x ⩽ 1}$ C、 ${x ∣ x ⩽ 1}$ D、 ${x ∣ x > 0}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - 100 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{100})) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{100}$ D、1

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3. 若关于x的不等式 $x^{2} - a x + 7 > 0$ 在 $(2 ， 7)$ 上有实数解，则a的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 8)$ B、 $(- ∞ ， 8]$ C、 $(- \infty ， 2 \sqrt{7})$ D、 $(- \infty ， \frac{11}{2})$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{| x |} - 4}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a = 5^{- 1}$ ， $b = l o g_{4} 32$ ， $c = l o g_{0.5} 5$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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7. 已知 $f (x) = 1 - 2 \cos^{2} (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ .给出下列判断：
①若 $f (x_{1}) = 1 ， f (x_{2}) = - 1$ ，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = π$ ，则 $ω = 2$ ；②存在 $ω \in (0 ， 2)$ 使得 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称；③若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有7个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{41}{24} ， \frac{47}{24})$ ；

④若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{2}{3}]$ .

其中，判断正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 2 x ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x} - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若对任意 $x \in R$ ， $f (x) - | x - 2 k | - | x - 1 | \leq 0$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}] \cup [1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $N \cap C_{U} M$ B、 $M ∩ ∁_{U} N$ C、 $[∁_{U} (M \cap N)] \cap N$ D、 $(∁_{U} M) ∩ (∁_{U} N)$

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10. 下列说法正确的有（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则 $2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值是 -1 B、若 $x$ ， $y$ ， $z$ 都是正数，且 $x + y + z = 2$ ，则 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + z}$ 的最小值是3 C、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y + 2 x y = 8$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是2 D、若实数 $x$ ， $y$ 满足 $x y > 0$ ，则 $\frac{x}{x + y} + \frac{2 y}{x + 2 y}$ 的最大值是 $4 - 2 \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + \sqrt{3} c o s x s i n x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ 对称

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12. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x + 1 ， 0 < x \leq 1 ， \\ \frac{1}{2 x - 1} ， x > 1 . \end{array}$ 下列说法中正确的是（）

A、当 $- \frac{1}{2} < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{2}$ 时，恒有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ B、若当 $x \in (0 ， m]$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ ，则m的取值范围为 $[\frac{1}{2} ， \frac{7}{6}]$ C、不存在实数k，使函数 $F (x) = f (x) - k x$ 有5个不相等的零点 D、若关于x的方程 $[f (x) - \frac{3}{4}] [f (x) - a] = 0$ 所有实数根之和为0，则 $a = - \frac{3}{4}$

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则实数m的值为．

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14. 若 $2^{a} = 3$ ， $8^{b} = 9$ ，则 $\frac{b}{a} =$ ．

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15. 函数 $f (x) = 2 s i n (- 2 x + \frac{π}{3})$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间为．

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16. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ．若 $f (x)$ 的定义域为 $[m ， n]$ ，值域为 $[2 m ， 2 n]$ ，则 $m + n =$ ．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | a \leq x \leq 3 - 2 a}$ ．

(1)、若 $(∁_{R} A) \cup B = R$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A ∩ B \neq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的增函数，并且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ， $f (\frac{1}{3}) = 1$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、若 $f (x) + f (2 + x) < 2$ ，求 $x$ 的取值范围．

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19. 已知定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数 $f (x)$ ．在 $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ．

(1)、试求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若对于 $x \in (0 ， 1)$ 上的每一个值，不等式 $t \cdot 2^{x} \cdot f (x) < 4^{x} - 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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20. 已知 $c o s (α - \frac{β}{2}) = - \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $s i n (\frac{α}{2} - β) = \frac{1}{2}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，求：

(1)、 $c o s \frac{α + β}{2}$ 的值；

(2)、 $t a n (α + β)$ 的值.

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21. 某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔 $t ($ 单位：分钟 $)$ 满足 $2 \leq t \leq 20$ ，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当 $10 \leq t \leq 20$ 时，地铁为满载状态，载客量为500人；当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $(10 - t)^{2}$ 成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为 $s (t)$ ．

(1)、求 $s (t)$ 的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；

(2)、若该线路每分钟的净收益为 $Q = \frac{8 s (t) - 2656}{t} - 60$ $($ 元 $) .$ 问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、解关于 $m$ 的不等式 $f (2 m + 1) > f (m - 1)$ ；

(3)、设 $g (x) = l o g_{2} (a \cdot 2^{x} + a) (a \neq 0)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象有2个公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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