浙江大学附中玉泉校区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${1 ， 6}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6}$

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2. 下列选项中与角 $α = - 3 0^{°}$ 终边相同的角是（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $24 0^{∘}$ C、 $39 0^{∘}$ D、 $33 0^{∘}$

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3. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $(- 2 ， 1)$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 $y = 2^{| x |} - x^{2} (x \in R)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $a < b$ ”是“ $l n a < l n b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、3 C、2 D、1

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7. 某食品的保鲜时间 $y$ (单位：小时)与储藏温度 $x$ (单位： $^{o} C$ )满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ ( $e = 2.718 ⋯$ 为自然对数的底数， $k$ ， b为常数).若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22 $^{o} C$ 时的保鲜时间是（）

A、40小时 B、44小时 C、48小时 D、52小时

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8. 已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x³ ，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)

A、 $(0 ， \frac{1}{5}]$ ∪(5，＋∞) B、 $(0 ， \frac{1}{5})$ ∪ $[5 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{7} ， \frac{1}{5})$ ∪(5，7) D、 $(\frac{1}{7} ， \frac{1}{5})$ ∪[5，7)

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二、多选题

9. 下列函数是奇函数的有（）

A、 $y = l n x$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = 2^{x}$

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10. 已知函数 $f (x) = | l n x |$ ， $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > b$ B、 $a - 2 b > 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{a} + b > 3$ D、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} > 8$

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三、填空题

11. 已知函数 $f (x) = a s i n x + b$ （ $a > 0$ ）的最大值为3，最小值为1，则 $a =$ ， $b =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} ， x \leq 0 \\ - \sqrt{x} ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (4)] =$ .

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13. 已知A为三角形内角且 $t a n A = \frac{3}{4}$ ，则 $s i n A =$ .

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14. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当时 $x > 0$ ， $f (x) = 4 x - x^{2}$ .若 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， t]$ 上的值域为 $[- 4 ， 4]$ ，则实数 $t$ 的取值范围是．

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15. 已知 $f (x)$ 是在定义域 $(0 ， + ∞)$ 上的单调函数，且对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 都满足： $f (f (x) - 2 l o g_{2} x) = 4$ ，则满足不等式 $f (x) - 2 < l o g_{2} (3 x)$ 的 $x$ 的取值范围是.

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四、解答题

16.

(1)、计算： ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{1}{3}} + l o g_{2} 3 \cdot l o g_{3} 4 + l g 2 + l g 50$ ；

(2)、已知 $t a n α = 2$ ，求 $c o s (\frac{3 π}{2} + α) \cdot c o s (π - α)$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ .

(1)、用“五点法”画出函数在一个周期内的图像：

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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18. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} + x + a)$

(1)、若函数 $f (x)$ 过点 $(1 ， 1)$ ，求此时函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{x + b}$ ，对于定义域内任意 $x$ 都满足 $f (- x) + f (x - 2) = 4$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知定点 $Q (1 ， 0)$ ，且 $P (x ， y)$ 是 $f (x)$ （ $x < - 1$ ）图像上任意一点，那么求 $P$ 、 $Q$ 两点距离的最小值；（直角坐标平面上两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 的距离公式为 $| A B | = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ）.

(3)、若不等式： $f (x) \leq \frac{2 k}{(x + 1) | x - k |}$ ，对于任意 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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