黑龙江省双鸭山市集贤县2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 x^{2} - 7 x + 3 < 0}$ ， $B = {y | y = x + \frac{1}{x} ， x > 0}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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2. 已知 $a = 1 . 5^{0.8}$ ， $b = l o g_{2} 5$ ， $c = s i n 1 - c o s 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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3. 为了得到函数 $y = \sin 2 x + \cos 2 x$ 的图象，可以将函数 $y = \sqrt{2} \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位

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4. 函数 $f (x) = l n x + 2 x - 1$ 的零点所在的区域为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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5. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间 $t$ （单位：天）与病情爆发系数 $f (t)$ 之间，满足函数模型： $f (t) = \frac{1}{1 + e^{- 0.22 (t - 50)}}$ ，当 $f (t) = 0.1$ 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 $t$ 约为（）
(参考数据： $e^{1.1} \approx 3$ )

A、38 B、40 C、45 D、47

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6. 已知 $c o s (α - \frac{π}{6}) + s i n α = \frac{4}{5} \sqrt{3}$ ，则 $s i n (α + \frac{7 π}{6})$ 的值是（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 若 $\frac{1}{s i n α} + \frac{1}{c o s α} = \sqrt{3}$ ，则 $s i n α c o s α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ 或1 D、 $\frac{1}{3}$ 或 $- 1$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若实数 $m \in (0 ， 1)$ ，则函数 $g (x) = f (x) - m$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知函数 $f (x) ＝ \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，若不等式 $f (a^{2} - 2 a - m) + f (1 - 2 a) < 0$ 对任意的 $a \in [- 1 ， 4]$ 均成立，则 $m$ 的取值不可能是（）

A、 $9$ B、 $8$ C、 $7$ D、 $6$

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二、多选题

10. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、对任意的 $x$ 都有 $f (x) \geq f (\frac{5 π}{12})$ D、 $f (x)$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的零点之和为 $\frac{π}{3}$

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11. 函数 $f (x) = l g [(k - 1) x^{2} - (k - 1) x + 1]$ 的值域为 $R$ ，则实数 $k$ 可能的取值有（）

A、5 B、1 C、 $2021$ D、3

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12. 已知 $s i n (α - β) c o s α - c o s (α - β) s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (β + \frac{π}{4})$ 的可能值为（）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - \log_{2} x}$ 的定义域为．

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14. 若 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{4}$ ，则 $g (x) = t a n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为．

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15. 已知 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 1 ， x ⩽ 0 \\ | \log_{0.5} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $a$ 的最小值是， $x_{4} \cdot (x_{1} + x_{2}) + \frac{16}{x_{3} \cdot x_{4}^{2}}$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， 4)$ .

(1)、求 $t a n (π - α)$ 的值；

(2)、求 $\frac{c o s (α - \frac{π}{2})}{s i n (\frac{5 π}{2} + α)} \cdot s i n (α - 2 π) \cdot c o s (π - α)$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴的距离；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值与最小值，以及此时 $x$ 的取值．

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19. 已知函数 $f (x) = a s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) + \frac{a}{2} + b (x \in R ， a > 0 ， ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，函数 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{7}{4}$ ，最小值是 $\frac{3}{4}$ .

(1)、求 $ω$ 、 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、指出 $f (x)$ 的单调递增区间.

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20. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} (x + \frac{π}{12}) ， g (x) = 1 + \frac{1}{2} s i n 2 x .$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、求函数 $h (x) = f (x - \frac{π}{12}) + g (x)$ 的最小正周期和值域.

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21. 设函数 $f (x)$ 是增函数，对于任意 $x ， y \in R$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ．

(1)、写一个满足条件的 $f (x)$ ；

(2)、证明 $f (x)$ 是奇函数；

(3)、解不等式 $\frac{1}{2} f (x^{2}) - f (x) > \frac{1}{2} f (3 x)$ ．

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22. 设函数 $f (x) = a^{2 x} + m a^{- 2 x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是定义在R上的奇函数.

(1)、求实数m的值；

(2)、若 $f (1) = \frac{15}{4}$ f，且 $g (x) = f (x) - 2 k f (\frac{x}{2}) + 2 a^{- 2 x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为2，求实数k的取值范围.

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