河南省信阳市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 4 < x \leq 2} ， B = {x \in N | - 1 < x \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ D、 ${x | - 4 < x \leq 4}$

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2. $c o s 240 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知命题 $p ： \forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} - x > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin [1 ， 2] ， x^{2} - x > 0$ B、 $\exists x \in [1 ， 2] ， x^{2} - x > 0$ C、 $\forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} - x \leq 0$ D、 $\exists x \in [1 ， 2] ， x^{2} - x \leq 0$

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4. 已知函数 $y = l o g_{3} (x^{2} + m)$ 的值域为 $[2 ， + \infty)$ ，则实数m的值为（）

A、2 B、3 C、9 D、27

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5. 若“ $x > a$ ”是“ $x > b$ ”的充分不必要条件，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a \leq b$ D、 $a \geq b$

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6. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然､更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横､竖各分三部分，以比例 $1 ： 0.618 ： 1$ 为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用 $A ， B ， C ， D$ 表示黄金分割点.若照片长､宽比例为 $8 ： 5$ ，设 $∠ C A B = α$ ，则 $\frac{1}{s i n 2 α} - t a n α =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{39}{80}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{49}{89}$

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7. 下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是（）

A、 $y = 1 0^{x}$ 与 $y = 1 0^{- x}$ B、 $y = 3^{x}$ 与 $y = - 3^{- x}$ C、 $y = 2^{x}$ 与 $y = - 2^{x}$ D、 $y = e^{x}$ 与 $y = l n x$

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x$ 的单调递增区间为（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[k π + \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{11 π}{12}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$

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9. 若 $4^{m} = 3$ ，则 $l o g_{3} 12 =$ （）

A、 $\frac{m + 1}{m}$ B、 $\frac{2 m + 1}{m}$ C、 $\frac{m + 2}{m}$ D、 $\frac{2 m + 1}{2 m}$

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10. 设 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + 3 y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、8 C、 $5 + 2 \sqrt{3}$ D、16

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11. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为 $S_{1}$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} ： S_{2} = \frac{3}{5}$ 时，折扇的圆心角的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (4 + x) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 8)$ 上零点的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $y = f (x) = a^{x} + m - 1 (a > 1)$ ，则 $f (27) =$ .

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14. 下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是.（写出所有符合条件的序号）

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15. $t a n 39 ° + t a n 6 ° + t a n 39 ° t a n 6 ° =$ .

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16. 《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝.“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数学上的应用，例如，已知含参数 $λ$ 的方程 $f (x ， λ) = 0$ 有解的问题，我们可分离出参数 $λ$ （调），将方程化为 $F (λ) = g (x)$ ，根据 $g (x)$ 的值域，求出 $F (λ)$ 的范围，继而求出 $λ$ 的取值范围，已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ，若关于x的方程 $(λ + 1) s i n x + c o s 2 x + 2 = 0$ 有解，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： ${(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} l g 5 + l g \sqrt{2} + l o g_{3} \sqrt{3}$ .

(2)、化简： $\frac{s i n (- π + α) c o s (π - α)}{s i n (\frac{π}{2} + α) \cdot s i n (2 π - α)} + \frac{1 - t a n \frac{π}{3}}{1 + t a n \frac{π}{4}}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{2}) - f (- \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3} ， α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，求 $s i n 2 α ， c o s 2 α$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (4 - a x)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、是否存在实数a，使函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， \frac{3}{2}]$ 上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x}$ 为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $h (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x} - 4 f (x) - 2$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的最小值，并求 $h (x)$ 取最小值时x的值.

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21. 观察下列各等式： $c o s^{2} 10 ° + s i n^{2} 40 ° - c o s 10 ° s i n 40 ° = a$ ， $c o s^{2} 15 ° + s i n^{2} 45 ° - c o s 15 ° s i n 45 ° = a$ ， $c o s^{2} 30 ° + s i n^{2} 60 ° - c o s 30 ° s i n 60 ° = a$ .

(1)、请选择其中的一个式子，求出a的值；

(2)、分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.

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22. 整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边 $A B$ 为半圆的直径，O为半圆的圆心， $A B = 2 A D = 200 m$ ，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域 $P M N$ （底边 $M N ⊥ C D$ ）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设 $∠ M O B = θ ， θ \in (0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求 $M N$ 的长；

(2)、求三角形区域 $P M N$ 面积的最大值.

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