河南省新乡市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 命题“有些梯形的对角线相等”的否定是（）

A、有些梯形的对角线不相等 B、所有梯形的对角线都相等 C、至少有一个梯形的对角线相等 D、没有一个梯形的对角线相等

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3. 已知幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 11) x^{m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $f (4) =$ （）

A、2 B、16 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{16}$

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4. “ $α$ 是第四象限角”是“ $\frac{α}{2}$ 是第二或第四象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{7 π}{8}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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6. 某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式： $y = - 10 x + 500$ （ $20 < x \leq 40$ 且 $x \in N$ ）．则灯具商店每月的最大利润为（）

A、3000元 B、4000元 C、3800元 D、4200元

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7. 函数 $y = l o g_{\frac{1}{7}} (x^{2} - 22 x - 23)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(11 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 11)$ C、 $(23 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{32}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、24 B、25 C、26 D、27

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9. 已知 $a = 0.5 9^{0.61}$ ， $b = 0.6 1^{0.59}$ ， $c = l n \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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10. 已知 $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + c o s α}{1 - c o s α}} + \sqrt{\frac{1 - c o s α}{1 + c o s α}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{s i n α}$ B、 $\frac{1}{s i n α}$ C、 $- \frac{2}{s i n α}$ D、 $\frac{2}{s i n α}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 5 ， 5]$ 上的偶函数，当 $- 5 ≤ x ≤ 0$ 时， $f (x)$ 的图象如图所示，则不等式 $\frac{f (x)}{s i n x} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- π ， - 2) ∪ (0 ， 2) ∪ (π ， 5]$ B、 $(- π ， - 2) ∪ (π ， 5]$ C、 $[- 5 ， - 2) ∪ (0 ， π) ∪ (π ， 5]$ D、 $[- 5 ， - 2) ∪ (π ， 5]$

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12. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为R，若 $f (x + 1)$ 为偶函数，且 $f (- 1) = 5$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2021) =$ （）

A、10 B、 $- 10$ C、 $- 5$ D、5

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二、填空题

13. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $(\sqrt{3} ， - \sqrt{22})$ ，则 $c o s (θ + \frac{3 π}{2}) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 4} + x^{2} - x + 1$ 的值域为．

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15. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | x - 1 |$ ，则不等式 $f (1 - x) ≤ 2$ 的解集为．

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16. 已知 $c o s α c o s β = \frac{1}{4}$ ， $s i n α s i n β = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 α + c o s 2 β =$ ．

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三、解答题

17. 求值：

(1)、 $\sqrt[3]{3} \cdot {(3^{- \frac{1}{3}})}^{- 2} + \sqrt{{(2 - π)}^{2}} - 7^{0}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2} l o g_{\sqrt{5}} 100 - l o g_{5} 4 + l o g_{2} 9 \cdot l o g_{3} 8 - 1 0^{l g 3}$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | 2 a - 2 \leq x \leq a}$ ， $B = {x | - 3 < x < 1}$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 2 a)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $(3 ， 2)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若函数 $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x < 2 \\ f (x) ， x \geq 2 \end{array}$ ，求 $g (x) \geq 2$ 的解集．

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20. 若将函数 $f (x) = 2 c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 图象的对称中心；

(2)、若 $f (2 x) = \frac{1}{2} g (x)$ ，求 $t a n (8 x + \frac{π}{3})$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 - 2^{x + 1}}{1 + 2^{x}}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并说明理由，

(2)、若对任意 $t \in R$ ， $k \in R$ ， $f (t^{2} - t) + f (m - 2 t) < k^{2}$ 恒成立，求m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - \frac{1}{2} s i n^{2} \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} s i n (x + \frac{π}{3}) + \frac{1}{4}$ ．

(1)、将 $f (x)$ 化为 $A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的形式；

(2)、若函数 $g (x) = a {[f (x)]}^{2} - 2 f (x) + 1$ 在 $(- \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 上有4个零点，求a的取值范围．

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