河南省三门峡市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | x \leq - 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x \geq 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 < x < - 1}$

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2. 下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（）

A、有些四边形的内角和不等于360° B、 $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{1}{n} < 1$ C、 $\exists m \in R$ ， $| m | > 0$ D、所有能被4整除的数都是偶数

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3. 下列函数中，为偶函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = x^{2} - 2 x + 1$ D、 $y = | x |$

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4. 若 $α$ 是第二象限角， $P (x ， 2)$ 是其终边上的一点，且 $c o s α = - \frac{1}{3}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 命题“ $\exists x \in N$ ， $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in N$ ， $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ B、 $\forall x \in N$ ， $2 x^{2} + 3 x - 2 \neq 0$ C、 $\exists x \notin N$ ， $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ D、 $\exists x \notin N$ ， $2 x^{2} + 3 x - 2 \neq 0$

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6. 已知 $a = 202 1^{s i n 1}$ ， $b = l o g_{2021} (s i n 1)$ ， $c = s i n 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- 4 ， 4]$ C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $[- 4 ， 4)$

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9. 为了得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需把函数 $y = c o s 2 x$ 的图象上所有点（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度

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10. 已知 $x \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，且 $c o s^{3} x s i n x + s i n^{3} x c o s x = - \frac{2}{5}$ ，则 $t a n x =$ （）．

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $- 3$

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11. 若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y + x y - 3 = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 函数 $f (x) = s i n (4 x + \frac{3 π}{2}) + l n x$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 已知幂函数y＝x^α的图象过点(4， $\sqrt{2}$ )，则α＝.

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14. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则集合 $A \cap B$ 中的元素个数为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x (x > 0) \\ {(\frac{1}{2})}^{x} (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $a =$ .

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16. 设 $α ， β \in [0 ， π]$ ， $\sin α \cos β - \cos α \sin β = 1$ ，则 $\sin (2 α - β) + \sin (2 β - α)$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 2 ， 2 \sqrt{3})$ ，求下列各式的值：

(1)、 $c o s (α - \frac{π}{2}) + t a n (π - α)$ ；

(2)、 $\frac{c o s (α - π) s i n (α - \frac{3 π}{2})}{s i n^{2} (\frac{π}{2} + α)}$ ．

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18. 已知 $p ： \frac{5}{x + 1} \geq 2$ ， $q ： (x - 2 m) (x + m) \leq 0$ ，其中 $m > 0$ .

(1)、若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)、是否存在m，使得 $\neg p$ 是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $(9 ， 2)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若 $g (x) = f (2 - x) + f (2 + x)$ ，求 $g (x)$ 的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．

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20. 已知函数 $g (x) = a \sin (2 x + \frac{π}{6}) + b (a > 0 ， b \in R)$ .若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $3$ ，最小值为 $0$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求出 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递增区间.

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21. 某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为 $x (0 < x < 1)$ ，并预计 $8$ 年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、若某一年的碳排放量为今年碳排放量的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的 $\frac{1}{16}$ ？

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{2^{x} + n}{2^{x + 1} + m}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)、当 $x \in [\frac{1}{3} ， 3]$ 时， $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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