河南省安阳市滑县2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x - | x | \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} - | x_{0} | < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} - | x_{0} | \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x - | x | < 0$

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2. 把 $- 375 °$ 表示成 $θ + 2 k π$ ， $k \in Z$ 的形式，则 $θ$ 的值可以是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $- \frac{π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $- \frac{5 π}{12}$

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3. 设 $α > β$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $t a n α > t a n β$ B、 $l g α > l g β$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{α} > {(\frac{1}{3})}^{β}$ D、 $α^{5} > β^{5}$

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4. 设 $S (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ， $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， & x 为有理数 \\ 0 ， & x 为无理数 \end{array}$ ，则 $S (D (e) - π)$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $π$ C、1 D、e

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5. 集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ， $B = {x | 2^{x} \in A}$ ，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (1 ， \sqrt{2})$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 1$ D、1

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7. 函数 $f (x) = x \cdot 2^{2 - | x |}$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 对于函数 $f (x)$ ， $x \in R$ ， “ $f (x) = 0$ ”是“ $f (x)$ 的图象既关于原点对称又关于 $y$ 轴对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[1 ， 3]$ ，则函数 $h (x) = \frac{f (2 x - 1)}{l n x}$ 的定义域是（）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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10. 将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到 $y = sin (x - \frac{π}{6})$ 的图象，则 $f (x) = ($ $)$

A、 $cos 2 x$ B、 $sin \frac{1}{2} x$ C、 $cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ D、 $sin (2 x + \frac{π}{6})$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的减函数，实数a，b，c满足 $a < b < c$ ，且 $f (a) \cdot f (b) \cdot f (c) < 0$ ，若 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（）

A、 $x_{0} < a$ B、 $a < x_{0} < b$ C、 $b < x_{0} < c$ D、 $x_{0} < b$

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12. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = \sqrt{2}$ ，则a、b、c的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

13. $l o g_{\sqrt{3}} (t a n 30 °)$ 的值为．

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14. 二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值如下表：
$x$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
3
4
$y$
21
12
5
0
5
则关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为．

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15. 如图，扇环ABCD中，弧 $\overset{⌢}{A D} = 4$ ，弧 $\overset{⌢}{B C} = 2$ ， $| A B | = | C D | = 1$ ，则扇环ABCD的面积 $S =$ ．

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16. $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{b}{a} + a$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 3 - a \leq x \leq 3 + a}$ ， $B = {x | x \leq 0$ 或 $x \geq 4}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，且“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知 $α$ 为第四象限角，且 $s i n α + c o s α = - \frac{1}{5}$ ，求下列各式的值．

(1)、 $\frac{c o s α - 2 s i n α}{2 c o s α - s i n α}$ ；

(2)、 $t a n (α - 15 °)$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 l n (e^{x} + 1) - x$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (s i n x + \sqrt{3} c o s x)$ ．

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若关于x的方程 $f^{2} (x) - (1 + m) f (x) + m = 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

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21. 某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：
方案甲：如图1，围成区域为三角形 $A O B$ ；
方案乙：如图2，围成区域为矩形 $O A C B$ ；
方案丙：如图3，围成区域为梯形 $O A C B$ ，且 $∠ O A C = 60 °$ .

(1)、在方案乙、丙中，设 $A C = x m$ ，分别用x表示围成区域的面积 $S_{2} (m^{2})$ ， $S_{3} (m^{2})$ ；

(2)、为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.

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22. 2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，令P点纵坐标为 $y_{1}$ ，水面纵坐标为 $y_{2}$ ， P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据： $c o s \frac{π}{15} \approx 0.98$ ， $c o s \frac{2 π}{15} \approx 0.91$ ， $c o s \frac{π}{5} \approx 0.81$ ）

(1)、求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于x的函数关系式；

(2)、求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．

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$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	3	4
$y$	21	12	5	0	5