河北省张家口市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷（B）

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1 ， 1}$ ， $N = {x | x^{2} + x - 2 = 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 5 x + 4 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 5 x + 4 > 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} + 5 x + 4 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x + 4 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x + 4 \leq 0$

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3. 已知 $x \in R$ ，那么“ $x > 4$ ”是“ $2^{1 - x} < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $a = 3^{\frac{1}{15}}$ ， $b = 1 5^{\frac{1}{3}}$ ， $c = l o g_{15} \frac{1}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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5. 函数 $f (x) = l o g_{2} (- x^{2} + 6 x - 5)$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $[3 ， 5)$

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6. 方程 $l o g_{2} x = - x + 2$ 的解所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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7. 已知 $s i n (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{3}$ ，且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，则 $s i n (\frac{π}{6} + x) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 设奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x) - f (- x)}{x} < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | x > 2}$ D、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 2}$

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二、多选题

9. 在同一直角坐标系中，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = \log_{a} (x - 2)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 下列函数中，在定义域上既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = l g | x |$ B、 $f (x) = x + x^{- 1}$ C、 $f (x) = e^{| x |}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + x + 1 ， x \geq 0 \\ - x^{3} - x - 1 ， x < 0 \end{array}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $α$ 的终边上的一点坐标为 $(8 k ， 15 k)$ （ $k \neq 0$ ），则 $c o s α = \frac{8}{17}$ B、若 $2 α$ 是第一象限角，则 $α$ 是第一或第三象限角 C、若 $s i n α + c o s α = \frac{1}{5}$ ， $0 < α < π$ ，则 $t a n α < 0$ D、对 $\forall α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $c o s α = \sqrt{1 - s i n^{2} α}$ 恒成立

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12. 设常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x \leq 9 \\ \frac{18}{x} ， x > 9 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有三个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a \in (0 ， 2)$ B、 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ C、 $x_{2}$ 的取值范围为 $(1 ， 9]$ D、 $f [f (54)] = 1$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x - 3} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点.

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14. 若 $c o s (2 π - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{2} - α) =$ .

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15. 已知 $3^{x} = 4^{y} = 6$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x ， x < 1 ， \\ 3 \cdot a^{- x} - 2 ， x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ， $B = {x | y = \frac{l g (1 + x)}{\sqrt{x^{2} - 4}}}$ .

(1)、求 $A ∩ B$ ；

(2)、求 $A ∪ ∁_{R} B$ .

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18. 已知扇形的圆心角是 $α$ ，半径为 $r$ ，弧长为 $l$ .

(1)、若 $α = 13 5^{∘}$ ， $r = 10$ ，求扇形的弧长 $l$ ；

(2)、若扇形 $A O B$ 的周长为 $22$ ，当扇形的圆心角 $α$ 为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{4 + x}{4 - x}$ .

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $f^{2} (x) - f (x) < 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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20. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到 $2025$ 年中国的汽车总销量将达到 $3500$ 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台 $13500$ 元，到第 $x$ 年年末 $(x \in N_{+})$ 每台设备的累计维修保养费用为 $(300 x^{2} + 3200 x)$ 元，每台充电桩每年可给公司收益 $8000$ 元.（ $\sqrt{19} \approx 4.36$ ）

(1)、每台充电桩第几年年末开始获利；

(2)、每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.

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21. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x) - g (x) = e^{x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x^{2} + 1) + f (3 - a x) > 0$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，且对一切 $m > 0$ ， $n > 0$ ，都有 $f (\frac{m}{n}) = f (m) - f (n) + 2$ ，当 $x > 1$ 时，总有 $f (x) < 2$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 是定义域上的减函数；

(3)、若 $f (4) = 1$ ，解不等式 $f (x - 2) - f (8 - 2 x) < - 1$ .

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