河北省石家庄市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 16 < 0}$ ， $B = {- 5 ， 0 ， 1}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = \emptyset$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A ∩ B = {0 ， 1}$ D、 $A \subseteq B$

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2. 若幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (3)$ ＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、9

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3. 祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $a = \log_{3} 0.4$ ， $b = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $a b > 0$ 且 $a + b > 0$ B、 $a b < 0$ 且 $a + b > 0$ C、 $a b > 0$ 且 $a + b < 0$ D、 $a b < 0$ 且 $a + b < 0$

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6. 某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储存温度 $x$ （单位： $° C$ ）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e$ 为自然对数的底数， $k ， b$ 为常数）若该食品在 $0 ° C$ 的保鲜时间是384小时，在 $22 ° C$ 的保鲜时间是24小时，则该食品在 $33 ° C$ 的保险时间是（）小时

A、6 B、12 C、18 D、24

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7. 黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形 $A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，根据这些信息，可得 $s i n 54 ° =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5} - 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 4}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{8}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1 ， x \leq 0 \\ l g x ， x > 0 \end{array}$ ，若存在不相等的实数a，b，c，d满足 $| f (a) | = | f (b) | = | f (c) | = | f (d) |$ ，则 $a + b + c + d$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， \frac{81}{10}]$ C、 $(- 2 ， \frac{61}{10}]$ D、 $(0 ， \frac{81}{10}]$

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二、多选题

9. 下列结论中，正确的是（）

A、函数 $y = 2^{x - 1}$ 是指数函数 B、函数 $y = a x^{2} + 1 (a > 1)$ 的值域是 $[1 ， + \infty)$ C、若 $a^{m} > a^{n} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，则 $m > n$ D、函数 $f (x) = a^{x - 2} - 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像必过定点 $(2 ， - 2)$

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10. 若 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则下列关系式中一定成立的是（）

A、 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ B、 $e^{a} < e^{b}$ （ $e \approx 2.718$ ） C、 ${(\sin θ + \cos θ)}^{a} < {(\sin θ + \cos θ)}^{b}$ （ $θ$ 是第一象限角） D、 $\ln (a^{2} + 1) < \ln (b^{2} + 1)$

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = l o g_{2} x + x$ ， $h (x) = x^{3} + x$ 的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（）

A、 $- 1 < a < 0$ B、 $1 < b < 2$ C、 $b < c < a$ D、 $a + b + c = 0$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象连续不断，若存在常数 $λ (λ \in R)$ ，使得 $f (x + λ) + λ f (x) = 0$ 对于任意的实数x恒成立，则称 $f (x)$ 是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（）

A、函数 $f (x) = x$ 是回旋函数 B、函数 $f (x) = a$ （其中a为常数， $a \neq 0$ ）为回旋函数的充要条件是 $λ = - 1$ C、若函数 $f (x) = a^{x} (0 < a < 1)$ 为回旋函数，则 $λ < 0$ D、函数 $f (x)$ 是 $λ = 2$ 的回旋函数，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2022]$ 上至少有1011个零点

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三、填空题

13. ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{l o g_{2} 3} - c o s \frac{4 π}{3} =$

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14. 已知某扇形的半径为 $3$ ，面积为 $\frac{3 π}{2}$ ，那么该扇形的弧长为.

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15. 已知 $s i n (50 ° - α) = \frac{1}{3}$ ，且 $- 270 ° < α < - 90 °$ ，则 $s i n (40 ° + α) =$

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16. 设函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}} + a e^{x}$ （e为自然对数的底数，a为常数），若 $f (x)$ 为偶函数，则实数 $a =$ ；若对 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，则实数a的取值范围是

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四、解答题

17. 在非空集合① ${x | a - 1 \leq x \leq a}$ ， ② ${x | a \leq x \leq a + 2}$ ， ③ ${x | \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} + 3}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，已知集合 $A =$ __________， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$
使“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，若问题中a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．

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18. 已知 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} ， sin x + cos x = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\frac{sin x \cdot cos x + {sin}^{2} x}{1 + tan x}$ 的值

(2)、求 $sin x - cos x$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - b$ ．

(1)、若 $b = 3 a^{2}$ ，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $f (b) = b^{2} + b + a + 1$ ，求 $a + b$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x - \sqrt{3}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数的 $g (x)$ 图像，求 $y = g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{8})$ 上的值域．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式， $f (t + \frac{1}{2}) + f (t - \frac{1}{2}) < 0$ .

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22. 某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度 $C$ ，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度 $C$ 是时间 $t$ （单位：小时）的一个连续不间断的函数其函数表达式为
$C (t) = {\begin{array}{l} 1000 {[c o s \frac{π (t - 8)}{2} + 2]}^{2} - 1000 ， 8 \leq t \leq 16 \\ m ， 0 \leq t < 8 或 16 < t \leq 24 \end{array}$ ，
其中时间 $t$ 是午夜零点后的小时数， $m$ 为常数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间 $t$ ；

(3)、若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.

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