河北省秦皇岛市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x \in Z | x > 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $N$ B、 $Z$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 $(0 ， + ∞)$

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2. 命题“ $\exists x \in Z$ ， $x^{2} + 1$ 是4的倍数”的否定为（）

A、 $\forall x \in Z$ ， $x^{2} + 1$ 是4的倍数 B、 $\forall x \in Z$ ， $x^{2} + 1$ 不是4的倍数 C、 $\exists x \in Z$ ， $x^{2} + 1$ 不是4的倍数 D、 $\forall x \notin Z$ ， $x^{2} + 1$ 不是4的倍数

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3. 已知函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：
$x$
1
2
4
5
6
$f (x)$
123.136
15.552
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中， $f (x)$ 一定有零点的是（）

A、（1，2） B、（2，4） C、（4，5） D、（5，6）

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4. 如图所示的时钟显示的时刻为 $4 ： 30$ ，此时时针与分针的夹角为 $α (0 < α \leq π)$ ．若一个半径为 $1$ 的扇形的圆心角为 $α$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{16}$

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5. “ $α$ 是钝角”是“ $α$ 是第二象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - k x + 1$ 在 $[2 ， 5]$ 上具有单调性，则k的取值范围是（）

A、 $[2 ， 5]$ B、 $[4 ， 10]$ C、 $(- \infty ， 4] \cup [10 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [2 ， + \infty)$

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7. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系式为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ ． $2011$ 年 $3$ 月 $11$ 日，日本东北部海域发生里氏 $9.0$ 级地震，它所释放出来的能量是 $2017$ 年 $8$ 月 $8$ 日我国四川九寨沟县发生里氏 $7.0$ 级地震的（）

A、 $32$ 倍 B、 $64$ 倍 C、 $1000$ 倍 D、 $1024$ 倍

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{a - x}{x + 1}$ ，若 $f (- 1) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x - 1) < 1$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{3}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知点 $P (m ， - 2 m) (m \neq 0)$ 是角 $α$ 终边上一点，则（）

A、 $t a n α = - 2$ B、 $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $s i n α c o s α < 0$ D、 $s i n α c o s α > 0$

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10. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ D、 $\frac{a + b}{\sqrt{a b}}$ 的取值范围是 $[2 ， + \infty)$

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11. 函数 $f (x)$ 的图象是折线段 $A B C$ ，如图所示，其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(- 1 ， 2)$ ， $(1 ， 0)$ ， $(3 ， 2)$ ，以下说法正确的是（）

A、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， - 1 \leq x < 1 ， \\ x - 1 ， 1 \leq x \leq 3 \end{array}$ B、 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1 ， 3]$ C、 $f (x + 1)$ 为偶函数 D、满足 $f (f (x)) \geq 1$ 的 $x$ 的取值集合为 ${- 1 ， 1 ， 3}$

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12. 已知函数函数 $f (x) = {\begin{matrix} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 1 ， \\ {(x - 2)}^{2} ， x > 1 ， \end{matrix} MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaabaabauaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadAgadaqadaWdaeaa
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aaaeaapeWaaqWaa8aabaWdbiaaikdapaWaaWbaaSqabeaapeGaamiE
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MiJkaaigdacaGGSaaapaqaa8qadaqadaWdaeaapeGaamiEaiabgkHi
TiaaikdaaiaawIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaki
aacYcacaWG4bGaeyOpa4JaaGymaiaacYcaaaaacaGL7baaaaa@5A82@$ $y = f (x) - a$ 有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则（）

A、 $a$ 的取值范围是 $(0 ， 1)$ B、 $x_{2} - x_{1}$ 的取值范围是 $(0 ， 1)$ C、 $x_{3} + x_{4} = 4$ D、 $\frac{2^{x_{1}} + 2^{x_{2}}}{x_{3} + x_{4}} = 2$

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三、填空题

13. 写出一个能说明“若函数 $f (x)$ 为奇函数，则 $f (0) = 0$ ”是假命题的函数： $f (x) =$ .

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14. 若 $x l o g_{4} 3 = 1$ ，则 $3^{x} + 3^{- x} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = a {(\frac{1}{2})}^{| x |} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 1$ ，但又不与该直线相交，则 $f (- 2) =$ ．

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16. 已知正数a，b满足 $a + 2 b \geq \frac{2 a + b}{2 a b}$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | - 3 < x - 3 < 0}$ ， $C = {x | 1 - m < x < 2 m}$ ．

(1)、求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq C$ ，求m的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， - 1]$ 上的值域.

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19.

(1)、已知 $s i n (π - α) + s i n (\frac{3 π}{2} + α) = s i n (α + \frac{π}{2})$ ，求 $s i n α c o s α + c o s^{2} α$ 的值；

(2)、已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 为锐角，求 $s i n (α - \frac{π}{6})$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 1)$ ， $g (x) = l o g_{a} (1 - x) (a > 0 ，且 a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的定义域；

(2)、试讨论关于x的不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + (1 + a) e^{- x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求a的值；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) ⩾ a + 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = x^{2} - a x + a - 1$ ．

(1)、若 $g (x)$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，求a的值．

(2)、证明：对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立．

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$x$	1	2	4	5	6
$f (x)$	123.136	15.552	10.88	-52.488	-232.064