河北省廊坊市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 < x \leq 4}$ ， $B = {x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[3 ， 4]$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $(3 ， 4]$

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2. $s i n \frac{9 π}{4} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 指数函数 $f (x) = {(a - 1)}^{x}$ 在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 若用二分法逐次计算函数 $f (x) = l n x + x$ 在区间 $[0.5 ， 1]$ 内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：
$x$
0.5
1
0.75
0.625
0.5625
$f (x)$
$- 0.193$
1
0.462
0.155
$- 0.013$
则方程 $l n x + x = 0$ 的一个近似根（精度为0.1）为（）

A、0.56 B、0.57 C、0.65 D、0.8

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5. 关于x的一元二次不等式 $2 x^{2} - k x + \frac{3}{8} > 0$ 对于一切实数x都成立，则实数k满足（）

A、 ${k | k < \sqrt{3}}$ B、 ${k | k < - \sqrt{3}}$ C、 ${k | - \sqrt{3} < k < \sqrt{3}}$ D、 ${k | k > \sqrt{3}}$

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6. “ $l o g_{5} (x + 3) ⩽ 1$ ”是“ $- 3 ⩽ x ⩽ 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（）（参考数据：取 $l g 2 = 0.3$ ）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - \frac{π}{2}) = f (x + \frac{π}{2})$ ，且当 $x \in [0 ， π]$ ]时， $f (x) = s i n x$ ，则（）

A、 $f (c o s 120 °) > f (s i n (- 20 °)) > f (s i n 190 °)$ B、 $f (c o s 120 °) > f (s i n 190 °) > f (s i n (- 20 °))$ C、 $f (s i n 190 °) > f (c o s 120 °) > f (s i n (- 20 °))$ D、 $f (s i n 190 °) > f (s i n (- 20 °)) > f (c o s 120 °)$

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二、多选题

9. 下列函数为偶函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = c o s x$

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10. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a + 2 b = a b$ ，则 $2 a + b$ 的取值可以是（）

A、8 B、9 C、11 D、12

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6}) + 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是π B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- π ， - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数

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12. 若 $m > 0$ ， $n > \frac{1}{2}$ ，且 $m \cdot 2^{m} = 2 n (l o g_{2} n + 1) = 5$ ，则（）

A、 $m + l o g_{2} m < 3$ B、 $l o g_{2} n + 2 > \frac{5}{2 n}$ C、 $m = l o g_{2} n - 1$ D、 $m n = \frac{5}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $α \in [- 3 π ， 3 π]$ ，且 $c o s (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ，写出一个满足条件的 $α$ 的值：.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x + 3 ， x ⩽ 0 ， \\ l o g_{2} x ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ .

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15. 某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人.

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16. 若 $\forall x \in R ， \exists a \in [5 ， 8] ， x^{2} + a x + \frac{1}{2} a^{2} ⩾ 2 x + a m - 5$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 $l g \frac{1}{4} - l g 25$ ；

(2)、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$ ．

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18. 已知 $\frac{c o s (α - \frac{π}{2}) - c o s (α + π)}{3 s i n α - c o s α} = 3$ ．

(1)、求 $t a n (2 π + α)$ 的值；

(2)、求 $s i n α c o s α$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

(2)、用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；

(3)、求f（x）在[－2，－1]上的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3}) + m$ ， $x \in R$ ，且 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值为0.

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值以及取得最大值时x的取值集合.

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21. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本 $C (x)$ （万元）.当年产量低于60千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x$ ；当年产量不低于60千件时， $C (x) = 80 x + \frac{4500}{x - 45} - 2700$ .每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 3^{x} + 1}{3^{x} - 1}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解方程 $l g f (2 x) - l g f (x) = 1 - l g 16$ ；

(2)、当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $| f (2 x) - f (x) | \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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$x$	0.5	1	0.75	0.625	0.5625
$f (x)$	$- 0.193$	1	0.462	0.155	$- 0.013$