河北省沧州市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. $s i n \frac{13 π}{6} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 \geq 0}$ ， $B = {y | y = x^{2} - 4 x + 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2]$ D、 ${2}$

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3. 下列函数是幂函数的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = x^{2} - 1$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = 2^{x}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - 2 c > b - 2 d$ B、若a， $b \in R$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ C、若 $a > b > 0$ ， $m > n > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + n}$ D、若 $| a | > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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5. 已知 $a = l o g_{5} 2$ ， $b = e^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = l n 3$ 则下列说法正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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6. 若 $f (x) = x^{2} + 2^{| x |}$ ，则下列关系式一定成立的是（）

A、 $f (π) > f (- 3) > f (e)$ B、 $f (- 3) > f (π) > f (e)$ C、 $f (e) > f (- 3) > f (π)$ D、 $f (e) > f (π) > f (- 3)$

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7. 符号函数 $s g n (x)$ 是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 ， \\ 0 ， x = 0 ， \\ - 1 ， x < 0 ， \end{array}$ 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ，则 $y = s g n (f (x))$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 2 ， x < 0 ， \\ | l g x | ， x > 0 ， \end{array}$ 关于x的方程 $f (x) = m$ 有4个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} - \frac{(x_{1} + x_{2}) x_{3} x_{4}}{x_{1} x_{2}}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $[2 \sqrt{2} ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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二、多选题

9. 下列函数是奇函数的是（）

A、 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ B、 $f (x) = s i n (\frac{π}{4} x + \frac{π}{2})$ C、 $f (x) = x^{3} + x$ D、 $f (x) = l g \frac{3 - x}{3 + x}$

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10. 已知 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后关于原点对称 D、 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是4 B、 $a b + \frac{1}{a b}$ 的最小值是2 C、 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ D、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b$ 的最小值是 $- 2$

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12. 下列命题为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $s i n x + c o s x = 2$ B、已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + 1$ ，则 $f (2021) + f (- 2021) = 2$ C、命题“角 $α$ 是第一象限角”是“ $c o s α > 0$ ”的充分不必要条件 D、当 $a > 1$ 时，函数 $f (x) = | l n x | + x - a$ 有2个零点

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(3 ， 4)$ ，则 $s i n α =$ .

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14. 求方程 $x^{3} - 2 x - 3 = 0$ 在区间 $(1 ， 2)$ 内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是.

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15. 已知 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，且 $\frac{\sqrt{2}}{2} c o s (x - \frac{π}{4}) = c o s 2 x$ ，则 $t a n 2 x =$ .

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16. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (5 + l o g_{3} 16) =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x - 1} \leq 0}$ ， $B = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $B \cap ∁_{R} A = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $\frac{π}{6} < α < \frac{π}{2}$ ，且 $f (α) = \frac{5}{3}$ ，求 $s i n 2 α$ 的值.

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19. 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入 $50$ 万元，最大产量 $50$ 万斤，每生产 $x$ 万斤，需其他投入 $g (x)$ 万元， $g (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 20 x ， 0 \leq x \leq 35 \\ 60 x + \frac{16000}{x} - 1300 ， 35 < x \leq 50 \end{array}$ ，根据市场调查，该农产品售价每万斤 $50$ 万元，且所有产量都能全部售出.（利润 $=$ 收入 $-$ 成本）

(1)、写出年利润 $F (x)$ （万元）与产量 $x$ （万斤）的函数解析式；

(2)、求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} x .$

(1)、求 $g (x) = (f (x) - 2) f (x)$ 的值域；

(2)、当 $x \in [1 ， 16]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $m f (x) - f^{2} (x) + f (x^{2}) - 3 \geq 0$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 为偶函数 $(a \in R)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的单调性并证明；

(2)、求函数 $g (x) = - 2 m f (x) + 4^{x} + a \cdot 4^{- x}$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 c o s (\frac{π}{6} + 2 x)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $g^{2} (x) - (2 t + 1) g (x) - t - 9 ⩽ 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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