河北省保定市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题：“ $\forall x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} < 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} \leq 0$ D、 $\exists x > 0$ ， $2 l n x + 2^{x} < 0$

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2. 已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3}$ ， $N = {3 ， 4}$ ，全集 $I = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $M ∪ (∁_{I} N) =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$ D、I

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3. $- 660 ° =$ （）

A、 $- \frac{13}{3} π r a d$ B、 $- \frac{25}{6} π r a d$ C、 $- \frac{11}{3} π r a d$ D、 $- \frac{23}{6} π r a d$

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4. 已知 $c o s (π - θ) = \frac{2}{5}$ ，则 $c o s (- θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{21}}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$

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5. 若函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x} - x$ 为 $R$ 上的奇函数，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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6. 函数 $f (x) = l o g_{2} (2 x) \cdot l o g_{2} (4 x)$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且满足 $2 a + b = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} x ， 0 < x < 4 \\ (3 - a) x + 10 a - 22 ， x \geq 4 \end{array}$ 是 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $[2 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $[2 ， 3)$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > \frac{1}{a} > 0$ ，则（）

A、 $b > 1$ B、 $a > 1$ C、 $a > \frac{1}{b}$ D、 $a + b > \frac{2}{a}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $s i n 25 °$ 的值与 $c o s 65 °$ 的值相等 B、 $s i n 23 °$ 的值比 $s i n \frac{π}{8}$ 的值大 C、 $s i n 316 ° c o s 188 ° t a n 189 °$ 的值为正数 D、关于x的不等式 $c o s x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集为 ${x | 2 k π - \frac{π}{3} \leq x \leq 2 k x + \frac{π}{3} ， k \in Z}$

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11. 已知 $θ$ 为锐角，角 $α$ 的终边上有一点 $M (- s i n θ ， c o s θ)$ ， x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（）

A、若 $a \in (0 ， 2 π)$ ，则 $α = \frac{π}{2} + θ$ B、劣弧 $M N$ 的长度为 $\frac{π}{2} + θ$ C、劣弧 $M N$ 所对的扇形 $O M N$ 的面积为是 $\frac{α}{2}$ D、 $s i n α + s i n θ > 1$

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12. 若 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = l g x + 2$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 时， $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ C、当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 时， $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \leq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ D、函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = t a n (π x - \frac{π}{4})$ 的定义域为．

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14. 已知 $t a n α = - \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{s i n^{2} α + s i n α c o s α}{c o s^{2} α + 2 s i n α c o s α} =$ ．

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15. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{4} 11$ ， $c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是．（用“ $>$ ”连接）

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n (x - 1) | ， x > 1 ， \\ x^{2} + 2 x + 1 ， x \leq 1 ， \end{array}$ 若关于x的方程 $f (x) = m (m \neq 1)$ 有4个解，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} =$ ， $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $\frac{{(m^{- \frac{1}{3}} n^{\frac{2}{3}})}^{5}}{{(m^{- 1} n^{2})}^{2}} \times {(\frac{n^{2}}{m})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} + \sqrt{{(2 - e)}^{2}}$ ，其中m，n均为正数， $e$ 为自然对数的底数；

(2)、 $2^{l o g_{2} 3} + l o g_{8} 9 \cdot l o g_{3} 16 + l o g_{a} a + l o g_{a} 1 + l o g_{3} \sqrt{3}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

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18. 已知 $s i n α + c o s α = m$ ．

(1)、若 $m = \sqrt{2}$ ，求 $t a n α$ 的值；

(2)、若 $t a n^{2} α + \frac{1}{t a n^{2} α} = \frac{10}{3}$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，求实数 $m$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 $π$ ，其中 $ω > 0$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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20. 已知 $f (x)$ 是幂函数， $g (x)$ 是指数函数，且满足 $f (2) = g (2)$ ， $g (5) = 2 f (4)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $A = {y | y = \frac{f (g (x)) - 1}{f (g (x)) + 1}}$ ， $B = {y | y = \frac{g (f (x)) - 1}{g (f (x)) + 1}}$ ，请判断“ $m \in A$ 是 $m \in B$ 的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．

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21. 如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽 $2 m$ ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．

(1)、若苗圃面积 $5000 m^{2}$ ，求栅栏总长的最小值；

(2)、若苗圃带通道占地总面积为 $5000 m^{2}$ ，求苗圃面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) + a x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} + m \cdot 2^{f (x)}$ 的最小值为 $- 3$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、当 $k$ 为何值时，讨论关于 $x$ 的方程 $[f (x) - 1 + k] [f (x) - 1 - 4 k] + 2 k^{2} + k = 0$ 的根的个数．

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