（北师大版）2022-2023学年度第一学期八年级数学7.1 为什么要证明同步测试

试卷更新日期：2022-10-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ B E D = 110 °$ ， $B F$ 平分 $∠ A B E$ ， $D F$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $∠ B F D =$ （）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $130 °$

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2. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，一直角三角板ABC(∠ACB=90^°)放在平行线上，两直角边分别l₁与l₂、交于点D、E，现测得∠1=75^° ，则∠2的度数为（）

A、15° B、25° C、30° D、35°

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3. 下列说法正确的是（）

A、过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行 B、不相交的两条直线叫做平行线 C、直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短 D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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4. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释 $(a + b)^{n}$ （ $n$ ＝ $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， 5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数 $1$ ， $2$ ， $1$ ，恰好对应着 $(a + b)^{2}$ 展开式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 中各项的系数；第4行的4个数 $1$ ， $3$ ， $3$ ， $1$ ，恰好对应着 $(a + b)^{3}$ 展开式 $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么 $(a - \frac{1}{a})^{9}$ 展开式中 $a^{7}$ 的系数是（）

A、 $9$ B、 $- 9$ C、 $36$ D、 $- 36$

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5. 如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A₁∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂ ，依此类推，∠A₄BC与∠A₄CD的平分线相交于点A₅ ，则∠A₅的度数为（）

A、19.2° B、8° C、6° D、3°

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6. 观察下列等式： $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ； $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ； $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“ $2^{9} + 2^{8} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + 2 + 1$ ”的值，这个值为（）

A、 $2^{11} - 1$ B、 $2^{10} - 1$ C、 $2^{9} - 1$ D、 $2^{8} - 1$

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7. 已知： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ， $\sqrt{5 + \frac{5}{24}} = 5 \sqrt{\frac{5}{24}}$ ，若 $\sqrt{10 + \frac{b}{a}} = 10 \sqrt{\frac{b}{a}}$ 符合上面规律，则a+b的值为（）

A、179 B、109 C、210 D、104

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8. 如图，等边 $△ A B C$ 的顶点 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 1)$ ，规定把等边 $△ A B C$ “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后， $△ A B C$ 顶点C的坐标为（）

A、 $(- 2020 ， 1 + \sqrt{3})$ B、 $(- 2020 ， - 1 - \sqrt{3})$ C、 $(- 2019 ， 1 + \sqrt{3})$ D、 $(- 2019 ， - 1 - \sqrt{3})$

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9. 下列命题中，①在同一平面内，若 a⊥b ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ c$ ；②相等的角是对顶角；③能被2整除的数也能被4整除；④两点之间线段最短.真命题有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第一次向上跳运1个单位至P₁(1，1)，紧接着第二次向左跳动2个单位至点P₂(－1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P₁₀₀的坐标是（）

A、(－24，49) B、(－25，50) C、(26，50) D、(26，51)

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二、填空题

11. 如图， $A B / / C D$ ， $P_{2} E$ 平分 $∠ P_{1} E B$ ， $P_{2} F$ 平分 $∠ P_{1} F D$ ，可得 $∠ P_{2}$ ； $P_{3} E$ 平分 $∠ P_{2} E B$ ， $P_{3} F$ 平分 $∠ P_{2} F D$ ，可得 $∠ P_{3} \dots \dots$ 设 $∠ P_{1} E B = x °$ ， $∠ P_{1} F D = y °$ ，依次平分下去，则 $∠ P_{n} =$ $° .$

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12. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数 $\frac{1}{12}$ ，则（9，2）表示的分数是．

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13. 观察数据并寻找规律： $\sqrt{2}$ ， $- 2$ ， $\sqrt{6}$ ， $- 2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ……，则第2021个数是.

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14. 观察下列各式的特点：
① $\sqrt{1} = 1$ ， $\sqrt{1 + 3} = 2$ ， $\sqrt{1 + 3 + 5} = 3$ ， $\sqrt{1 + 3 + 5 + 7} = 4$ ， …；
② $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ， …
计算： $\frac{1}{\sqrt{1} \times \sqrt{1 + 3}}$ + $\frac{1}{\sqrt{1 + 3} \times \sqrt{1 + 3 + 5}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{1 + 3 + ⋯ + 2019} \times \sqrt{1 + 3 + ⋯ + 2021}}$
＝.

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15. 观察下列方程：①x+ $\frac{2}{x}$ =3；②x+ $\frac{6}{x}$ =5；③x+ $\frac{12}{x}$ =7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+ $\frac{n^{2} + n}{x - 3}$ =2n+4（n为正整数）的解x= ．

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三、解答题

16. 如图， $A B ∥ C D$ ，P为 $A B$ ， $C D$ 之间的一点，已知 $∠ 2 = 28 °$ ， $∠ B P C = 58 °$ ，求∠1的度数.

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17. 判断下面各式是否成立

(1)、 $\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ （2） $\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ （3） $\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： $\sqrt{5 \frac{5}{24}} =_____$
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明

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18. 判断以下列各式是否成立：
$\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ； $\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ； $\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ．

类比上述式子，再写出两个同类的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．

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19. 观察：
$\sqrt{2 — \frac{2}{5}}$ = $\sqrt{\frac{8}{5}}$ = $\sqrt{\frac{4 \times 2}{5}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ ，即 $\sqrt{2 - \frac{2}{5}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ ； $\sqrt{3 - \frac{3}{10}}$ = $\sqrt{\frac{27}{10}}$ = $\sqrt{\frac{9 \times 3}{10}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ ，即 $\sqrt{3 - \frac{3}{10}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ .猜想 $\sqrt{5 - \frac{5}{26}}$ 等于什么，并通过计算验证你的猜想.

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20. 观察下面的规律：

写出第n行的式子，并证明你的结论。

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21. 如图，在数轴上， $A_{1} 、 P$ 两点表示的数分别为 $1 、 2$ ， $A_{1} 、 A_{2}$ 关于 $O$ 对称， $A_{2} 、 A_{3}$ 关于点 $P$ 对称， $A_{3} 、 A_{4}$ 关于点 $O$ 对称， $A_{4} 、 A_{5}$ 关于点 $P$ 对称...依次规律，请求点 $A_{4} 、 A_{5} 、 A_{8} 、 A_{11}$ 表示的数．

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22. 黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和2010后，添加上8；若再擦掉8，8，38，添上4，等等.如果经过1004次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是29，求另一个数.

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23. 观察下列各式及其验算过程：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ = $\sqrt{\frac{2 \times 3 + 2}{3}}$ = $\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ；
$\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ = $\sqrt{\frac{3 \times 8 + 3}{8}}$ = $\sqrt{\frac{2^{3}}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$

(1)、按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ 的变形结果并进行验证．

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

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二、填空题

三、解答题

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