2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

试卷更新日期：2022-10-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l g (2 x - x^{2})}$ ， $B = {x | | x - 2 | < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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2. 已知复数 $z$ 的实部为1，且 $| z - \bar{z} | = 2 | z + \bar{z} |$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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3. 某机构通过抽样调查，利用 $2 \times 2$ 列联表和 $K^{2}$ 统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得 $K^{2} = 3.305$ ，经查对临界值表知 $P (K^{2} \geq 2.706) \approx 0.10$ ， $P (K^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ ，现给出四个结论，其中正确的是（）

A、因为 $K^{2} ＞ 2.706$ ，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关" B、因为 $K^{2} < 3.841$ ，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” C、因为 $K^{2} ＞ 2.706$ ，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关” D、因为 $K^{2} < 3.841$ ，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

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4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t} (t \geq 0)$ ，其中k为常数， $k > 0$ ， $P_{0}$ 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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5. 安排4名小学生参与社区志愿服务活动，有4项工作可以参与，每人参与1项工作，每项工作至多安排2名小学生，则不同的安排方式有（）

A、168种 B、180种 C、192种 D、204种

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6. 已知 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos ω x$ （ $ω > 0$ ），将 $f (x)$ 图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到 $g (x)$ 的图象． $g (x)$ 的部分图象如图所示（ $D$ 、 $C$ 分别为函数的最高点和最低点）：其中 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = \frac{{| \vec{A D} |}^{2}}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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7. 设 $a = e^{0.02} - 1$ ， $b = 2 (e^{0.01} - 1)$ ， $c = s i n 0.01 + t a n 0.01$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时 $f (x) = {(\sqrt{e})}^{x}$ ，若在区间 $x \in [0 ， 10]$ 内，函数 $g (x) = f (x) - (x + 1)^{m}$ 有个5零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0 ， l o g_{11} e)$ B、 $(0 ， l o g_{11} e) ∪ (\frac{1}{2} ， l o g_{7} e)$ C、 $(l o g_{11} e ， \frac{1}{2})$ D、 $(l o g_{11} e ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， l o g_{7} e)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、若 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} < \vec{b}$ B、向量 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直 C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ （且 $\vec{b} \neq \vec{0}$ ）则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a}$ 方向上的单位向量是 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$

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10. 已知 $x^{2} + y^{2} = 4 (x y \neq 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| x + y | \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $| x y | \leq 2$ C、 $l o g_{2} | x | + l o g_{2} | y | < \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{| x |} + \frac{1}{| y |} > \sqrt{2}$

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11. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{n} S_{n} = 1 + a_{n}^{2}$ ， $b_{n} = l o g_{2} \frac{S_{n + 2}}{S_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${S_{n}^{2}}$ 是等差数列 B、 $a_{n} < a_{n + 1}$ C、 $S_{n} \leq e^{\sqrt{n} - 1}$ D、满足 $T_{n} \geq 3$ 的 $n$ 的最小正整数解为10

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12. 棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点 $\vec{B_{1} G} = λ \vec{B_{1} C} (0 ≤ λ ≤ 1)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、三棱锥 $F - A_{1} E G$ 的体积为定值 B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $E G C_{1}$ 截正方体所得截面的周长为 $6 \sqrt{5} + \sqrt{17}$ C、直线FG与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的取值范围是 $[\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， 2 \sqrt{2}]$ D、当 $λ = \frac{3}{4}$ 时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球的表面积为 $\frac{153}{4} π$

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三、填空题

13. 已知 $n$ 是正整数，二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式的常数项是 $n$ ，则 $n =$ .

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14. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布 $N (76.3 ， 64)$ ．若 $Y ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，令 $η = \frac{Y - μ}{σ}$ ，则 $η \sim N (0 ， 1)$ ．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为分（结果保留1位小数）
附：若 $η \sim N (0 ， 1)$ ， $P (η ≤ 2.05) \approx 0.98$ ．

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A ， B$ 两点（其中点 $A$ 位于第一象限），圆 $C$ 与 $△ A F_{1} F_{2}$ 内切，半径为 $r$ ，则 $r$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = | \ln x | + a x + \frac{a}{x} (a > 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为；若关于x的方程 $e^{x} + e^{- x} - | \frac{\ln a - \ln x}{a} | - \frac{a}{x} = 0$ 有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $(t a n A - s i n C) (t a n B - s i n C) = s i n^{2} C$ ．

(1)、求证： $c^{2} = a b$ ；

(2)、若 $a + b = 3$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，又 $a_{n}$ ， $\sqrt{2 S_{n}}$ ， $a_{n + 1} (n \in N^{*})$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、求 $S_{2 n}$ ，并证明 $\frac{1}{S_{4}} + \frac{1}{S_{6}} + \frac{1}{S_{8}} + ⋯ + \frac{1}{S_{2 n + 2}} > \frac{n}{4 (n + 2)}$ ．

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19. 多面体 $A B C D E$ 如图所示，其中 $△ B C D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ B D C = 90 ° ， E B = E C = A B = A C$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $\frac{B D}{B A} = \frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ， $F$ 为 $△ A B C$ 的重心， $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ，求直线 $C A$ 与平面
$B E C$ 所成角的正弦值．

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20. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为 $\frac{1}{3}$ ；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中 $\frac{1}{3} < p < \frac{1}{2}$ ．

(1)、若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

(2)、为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 $E (X)$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆过点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，线段 $M N$ 的垂直平分线交直线 $l$ 于点 $P$ ，交直线 $x = - 2$ 于点 $Q$ ，求 $\frac{| P Q |}{| M N |}$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} \cdot \ln x$ .
（Ⅰ）求函数 $y = f (x) - x$ 的最小值；

（Ⅱ）若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 有两实数解 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} > \frac{e + 1}{1 - | x_{1} - x_{2} |}$ .（其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）.

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