（北师大版）2022-2023学年度第一学期九年级数学正方形的性质与判定期中复习

试卷更新日期：2022-10-20 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式连续旋转2023次得到正方形 $O A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ ，那么点 $A_{2023}$ 的坐标是（）

A、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a） B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} a ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} a ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} a ， \frac{\sqrt{2}}{2} a)$

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2. 如图，以菱形 $A B C D$ 的边 $A D$ 为对角线，作正方形 $A E D F$ ，点 $E$ 恰好落在 $C B$ 的延长线上，则 $∠ B A E$ 的度数是（）

A、 $1 0^{∘}$ B、 $1 5^{∘}$ C、 $2 0^{∘}$ D、 $2 5^{∘}$

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3. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）

A、AC＝BC＝CD＝DA B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C、AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D、AB＝BC，CD⊥DA

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4. 如图，以 $R t △ A B C$ 的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 7$ ， $S_{2} = 18$ ，则斜边 $A B$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、25

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ ， $C A$ 上，且 $D E / / C A$ ， $D F / / B A .$ 下列结论：①四边形 $A E D F$ 是平行四边形；②如果 $∠ B A C = 90 °$ ，那么四边形 $A E D F$ 是矩形；③如果 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，那么四边形 $A E D F$ 是菱形；④如果 $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，那么四边形 $A E D F$ 是正方形 $.$ 你认为正确的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、②③④

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6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C、对角互补 D、四个角相等

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7. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且 $A E = A D$ 连接DE，则∠CDE的度数为（）

A、20° B、22.5° C、25° D、30°

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8. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x轴上．若正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃ ，则点A₃到x轴的距离是（）．

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{18}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{18}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{6}$

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9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A、当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B、当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD C、当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D、当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

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10. 下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）

A、对角线相等的平行四边形 B、对角线互相平分且垂直的四边形 C、对角线互相垂直且相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的平行四边形

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二、填空题

11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4 $\sqrt{5}$ ． E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为．

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12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是.

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13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP长的最小值为．

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14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则 $\frac{A H}{A B}$ 的值是．

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15. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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三、解答题

16. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE．

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17. 已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分別为E、F.求证：四边形 $C E D F$ 是正方形.

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18. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？思路：将△ABE绕点A顺时针旋转9O°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在 $C D 、 A D$ 上，且 $△ B E F$ 是等边三角形.

求证： $D E = D F$ .

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20. 已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时.

(1)、求证：△ABD≌△ACF；

(2)、若正方形ADEF的边长为 $2 \sqrt{2}$ ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度.

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21. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．求证： $△ A B E ≌ △ A D F$ ．

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22. 如图，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，求证：△ABE≌△ADF。

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D，E ，F分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 边上的中点，连接 $D E$ ， $D F$ .求证：四边形 $D E C F$ 为正方形.

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二、填空题

三、解答题

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