广东省珠海市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 2}$ ，下列选项正确的是（）

A、 ${- 1} \in A$ B、 ${- 1} \subseteq A$ C、 $- 1 \subset A$ D、 $C_{R} A = [1 ， 4) ， B \cap C_{R} A = [1 ， 2]$

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2. 已知集合 $M = {x | - 4 < x < 3}$ ， $N = {x | x < - 5$ 或 $x ≥ 3}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | x < - 5$ 或 $x > - 4}$ B、 ${x | - 5 < x < 3}$ C、 ${x | - 5 < x < - 4}$ D、 ${x | x < - 5$ 或 $x > 3}$

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3. “ $x + y > 0$ ”是“ $x > 0 ， y > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 命题“ $\forall x < - 3 ， x^{2} + 2 x > 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x_{0} \geq - 3 ， {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} < 3$ B、 $\forall x_{0} < - 3 ， {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} > 3$ C、 $\exists x_{0} \geq - 3 ， {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} \leq 3$ D、 $\exists x_{0} < - 3 ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} \leq 3$

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5. 对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，给定下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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6. 将函数 $y = s i n 5 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图象对应的函数是（）

A、 $y = s i n (5 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (5 x - \frac{5 π}{6})$ C、 $y = s i n (5 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = s i n (5 x + \frac{5 π}{6})$

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7. 已知关于 $x$ 的不等式 $2 x^{2} - m x + n < 0$ 的解集是 $(2 ， 3)$ ，则 $m + n$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、2 C、22 D、 $- 22$

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8. 若函数 $f (x) (x \in R)$ 是偶函数，函数 $g (x) (x \in R)$ 是奇函数，则（）

A、函数 $f (x) + g (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x) \cdot g (x)$ 是偶函数 C、函数 $f [g (x)]$ 是偶函数 D、函数 $g [f (x)]$ 是奇函数

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9. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 8 ， m)$ ，且 $t a n α = - \frac{3}{4}$ ，则 $s i n α$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，且 $f (2) = 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $0 < f (1) < f (5) < f (- 3)$ B、 $f (5) < f (- 3) < 0 < f (1)$ C、 $f (- 3) < f (- 1) < 0 < f (1)$ D、 $f (- 3) < 0 < f (1) < f (5)$

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二、多选题

11. 下列既是奇函数，又在 $[- 2 ， 2]$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $f (x) = 2^{x - 1}$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ D、 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

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12. 已知函数 $f (x) = 3 c o s (\frac{π}{4} - 2 x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{π}{8} + \frac{1}{2} k π ， k \in Z$ C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{8} ， 0)$ 对称

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三、填空题

13. 已知扇形的周长为4，圆心角为 $2 r a d$ ，则扇形面积为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， & x > 1 \\ x^{2} + 1 ， & x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f [f (- \sqrt{3})] =$ .

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15. $\frac{s i n (α + \frac{π}{2}) + c o s (\frac{3}{2} π - α)}{s i n (π + α) + c o s (- α)} =$ .

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16. 已知 $u ， v \in R_{+}$ ，且 $u + 3 v = 4$ ，则 $\frac{1}{u + 1} + \frac{1}{4 + 3 v}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 计算下列各式的值.

(1)、 $27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(3 - π)}^{0} + {(2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}})}^{6}$ ；

(2)、 ${log}_{2} 8 - (lg 4 + lg 25) - {log}_{5} 8 \cdot {log}_{2} 5 + 7^{{log}_{7} 2}$ .

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18. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0} ， B = {x | (x - a) (x - 3 a) < 0 ， a > 0}$ ，语句 $p ： x \in A$ ，语句 $q ： x \in B$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求集合 $A$ 与集合 $B$ 的交集；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求正实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知 $t a n α = 3$ .

(1)、求 $t a n 2 α$ 及 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ ；

(2)、若 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $c o s β = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $s i n (α + β)$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及函数 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域.

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21. 果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本 $y$ （万元）与果树数量 $x$ （百棵）之间的关系如下表所示.
$x$
1
4
9
16
$y$
1
$4.4$
$7.8$
$11.2$

(1)、根据以上表格中的数据判断： $y = a x + b$ 与 $y = c \sqrt{x} + d$ 哪一个更适合作为 $y$ 与 $x$ 的函数模型；

(2)、已知该果园的年利润 $z$ （万元）与 $x ， y$ 的关系为 $z = 2 y - 0.1 x$ ，则果树数量 $x$ 为多少时年利润最大？

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} + b$ 是奇函数，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并判定函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性（无需证明）；

(2)、已知函数 $F (x) = {log}_{c} [f (x) - \frac{9}{4}] (c > 0$ 且 $c \neq 1)$ ，已知 $F (x)$ 在 $x \in [2 ， 4]$ 的最大值为2，求 $c$ 的值

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$x$	1	4	9	16
$y$	1	$4.4$	$7.8$	$11.2$