广东省中山市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 3 x < 0$ ”是“ $1 < x < 2$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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3. 函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，在 $(- \infty ， 0]$ 上为减函数，且 $f (3) = 0$ ，则不等式 $(x + 3) f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 3) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3) ∪ (0 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 0) ∪ (0 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (- 3 ， 3)$

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5. 若函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ ，在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减，则 $ω =$ （）．

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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6. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x}$ 的值域是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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7. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的部分图象如图1（粗线为 $f (x)$ 部分图象，细线为 $g (x)$ 部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）

A、 $y = f (g (x))$ B、 $y = f (x) g (x)$ C、 $y = g (f (x))$ D、 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$

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8. 设 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = l o g_{5} 8$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 图中矩形表示集合 $U$ ， $A$ ， $B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可以表示为（　　）

A、 $(∁_{U} A) \cap B$ B、 $∁_{B} (A ∩ B)$ C、 $∁_{U} (A \cap (∁_{U} B))$ D、 $∁_{A \cup B} A$

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10. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集是 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$ ，则（）

A、 $a < 0$ B、 $a - b + c > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b = 0$

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11. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象对称轴与对称中心的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

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12. 若 $0 < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} < 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $l o g_{x_{1}} (l o g_{x_{1}} x_{2}) < l o g_{x_{2}} (l o g_{x_{1}} x_{2})$ B、 $l o g_{x_{1}} (l o g_{x_{1}} x_{2}) > l o g_{x_{2}} (l o g_{x_{1}} x_{2})$ C、 $l o g_{x_{1}} (l o g_{x_{1}} x_{2}) + l o g_{x_{2}} (l o g_{x_{2}} x_{3}) + ⋯ + l o g_{x_{n - 1}} (l o g_{x_{n - 1}} x_{n}) + l o g_{x_{n}} (l o g_{x_{n}} x_{1}) > 0$ D、 $l o g_{x_{1}} (l o g_{x_{1}} x_{2}) + l o g_{x_{2}} (l o g_{x_{2}} x_{3}) + ⋯ + l o g_{x_{n - 1}} (l o g_{x_{n - 1}} x_{n}) + l o g_{x_{n}} (l o g_{x_{n}} x_{1}) < 0$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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14. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为 $π$ ，则该勒洛三角形的面积为.

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15. 写出一个值域为 $(- \infty ， 1)$ ，在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增的函数 $f (x) =$ ．

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16. 若 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{x y}{2 x + y}$ 的最大值为

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四、解答题

17.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}} \times 4^{\frac{1}{4}} + 3^{l o g_{2} 3} \times 3^{l o g_{2} \frac{2}{3}} - {(e - 1)}^{0}$ ．

(2)、已知 $t a n α = 2$ ，求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} + α)}{s i n (- α) + c o s (2 π - α)}$ 的值．

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18. 对于等式 $a^{b} = c (a > 0 ， a \neq 1)$ ，如果将 $a$ 视为自变量 $x$ ， $b$ 视为常数， $c$ 为关于 $a$ （即 $x$ ）的函数，记为 $y$ ，那么 $y = x^{b}$ ，是幂函数；如果将 $a$ 视为常数， $b$ 视为自变量 $x$ ， $c$ 为关于 $b$ （即 $x$ ）的函数，记为 $y$ ，那么 $y = a^{x}$ ，是指数函数；如果将 $a$ 视为常数， $c$ 视为自变量 $x ， b$ 为关于 $c$ （即 $x$ ）的函数，记为 $y$ ，那么 $y = l o g_{a} x$ ，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果 $c$ 为常数 $e$ （ $e$ 为自然对数的底数），将 $a$ 视为自变量 $x (x > 0 ， x \neq 1)$ ，则 $b$ 为 $x$ 的函数，记为 $y$ ．

(1)、试将 $y$ 表示成 $x$ 的函数 $f (x)$ ；

(2)、函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数 $f (x)$ 的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．

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19. 中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是

θ_{1}

，环境温度是

θ_{0}

，则经过时间

t

（单位：分）后物体温度

θ

将满足：

θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) \cdot e^{- k t}

，其中

k

为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到

200 m l

初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：

从98℃下降到90℃所用时间	1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间	3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间	4分57秒

(1)、请依照牛顿冷却模型写出冷却时间

t

（单位：分）关于冷却水温

θ

（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的

k

值（精确到0.01）.

(2)、“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，

200 m l

水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.

A.5 B.7 C.10

（参考数据： $l n 79 = 4.369$ ， $l n 71 = 4.263$ ， $l n 66 = 4.190$ ， $l n 61 = 4.111$ ， $l n 56 = 4.025$ ）

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20. 已知的数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n x + a$

(1)、 $f (x) = 0$ 有解时，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in R$ 时，总有 $1 \leq f (x) \leq \frac{17}{4}$ ，求定 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{1}{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 是增函数；

(2)、若 $g (x) = f (- \log_{2} x) + \frac{3}{- \log_{2} x}$ ，则当 $x$ 为何值时， $g (x)$ 取得最小值？并求出其最小值.

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22. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + a + 1}$ 的定义域为 ${x | a x^{2} + b x + a + 1 \geq 0$ 且 $x \geq 0}$ .

(1)、若 $a = - 2$ ， $b = 3$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x)$ 为“同域函数”，求实数 $b$ 的值；

(3)、若存在实数 $a < 0$ 且 $a \neq - 1$ ，使得 $f (x)$ 为“同域函数”，求实数 $b$ 的取值范围.

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