广东省汕尾市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{3} B、{5} C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 若 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 为第四象限角，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 函数 $f (x) = 4 x^{3} + x - 15$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 函数 $y = l g (1 - x) + \frac{1}{x}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1]$

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5. 当 $a > 1$ 时，在同一平面直角坐标系中， $y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ 与 $y = l o g_{a} (- x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知角 $α$ 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 $(- 2 ， y_{0})$ ，若 $α = \frac{2 π}{3}$ ，则 $y_{0}$ 的值为（）．

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4}}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于） $0.2$ 毫克/毫升，小于 $0.8$ 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于） $0.8$ 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上 $6$ 点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到 $1$ 毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 $10 %$ 的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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二、多选题

9. 下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减的为（）

A、 $y = c o s 2 x$ B、 $y = | s i n x |$ C、 $y = | c o s x |$ D、 $y = | t a n x |$

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10. 下列说法正确的是（）

A、“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、“ $x y > 0$ ”是“ $x + y > 0$ ”的必要不充分条件 C、“对任意一个无理数 $x$ ， $x^{2}$ 也是无理数”是真命题 D、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 = 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \neq 0$ ”

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11. 设 $A = {x | x^{2} - 9 x + 14 = 0}$ ， $B = {x | a x - 1 = 0}$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、0

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3 ， x \leq 0 \\ l n x - 2 ， x > 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (f (1)) = - 3$ B、函数 $f (x)$ 单调递增区间为 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ C、当 $- 4 < k \leq - 3$ 时，方程 $f (x) = k$ 有三个不等实根 D、当且仅当 $k > - 3$ 时，方程 $f (x) = k$ 有两个不等实根

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三、填空题

13. 全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \leq - 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ ．

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14. 若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为．

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15. 函数 $f (x)$ 为奇函数，且对任意互不相等的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，且 $f (- 2) = 0$ ，则 $f (x) < 0$ 的解集为．

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16. 若存在常数k和b，使得函数 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数x都满足： $F (x) \geq k x + b$ 和 $G (x) \leq k x + b$ 恒成立（或 $F (x) \leq k x + b$ 和 $G (x) \geq k x + b$ 恒成立），则称此直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“隔离直线”．已知函数 $f (x) = - x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在隔离直线 $y = - 3 x + b$ ，则实数b的取值范围是．

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四、解答题

17.

(1)、求值： ${(\frac{9}{16})}^{\frac{3}{2}} + π^{0} + l g \frac{1}{4} - l g 25$ ；

(2)、已知 $t a n θ = 2$ ，化简求值： $\frac{s i n (π - θ) + s i n (\frac{π}{2} + θ)}{c o s (- θ) + s i n (π + θ)}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{6}]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （ $a$ ， $b$ 为常数， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (1 ， 8)$ ， $B (3 ， 32)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 不等式 $a^{x} - b^{x} - λ \geq 0$ 对 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ 都成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20. 在① ${1 ， a} \subseteq {a^{2} - 2 a + 2 ， a - 1 ， 0}$ ；②关于x的不等式 $1 < a x + b \leq 3$ 的解集是 ${x | 3 < x \leq 4}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（1）中并解答，若同时选择两个条件作答，以第一个作答计分．

(1)、已知_________，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x - a > 0$ 的解集 $A$ ；

(2)、在（1）的条件下，若非空集合 $B = {x | 2 k < x \leq k + 2}$ ， $A \cup B = A$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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21. 某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI） $y$ 与时间 $x$ （单位：小时）的关系 $y = f (x)$ 满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当 $x \in [0 ， 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分；当 $x \in (14 ， 24]$ 时，曲线是函数 $g (x) = l o g_{a} (x - 13) + 102$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、根据函数单调性的定义，证明 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递减，在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、令 $g (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 k f (x) (k > \frac{5}{2})$ ，若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，都有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq \frac{19}{4}$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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