广东省广州市八区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， 3)$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $(0 ， 4]$

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2. 已知 $θ$ 是第三象限角，且 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知指数函数 $y = a^{x}$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则 $l o g_{a} 4 =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \geq 0 \\ 2 x ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 10$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ 或 $3$ B、3或5 C、 $- 3$ 或5 D、3

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5. 函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的单调递减区间为（）

A、 $[k π + \frac{π}{12} ， k π + \frac{7 π}{12}] (k \in Z)$ B、 $[\frac{k π}{2} + \frac{π}{12} ， \frac{k π}{2} + \frac{7 π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[\frac{k π}{2} - \frac{π}{6} ， \frac{k π}{2} + \frac{π}{3}] (k \in Z)$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，命题 $p ： f (x)$ 为奇函数，命题 $q ： f (0) = 0$ ，那么 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位： $m g / L$ ）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}$ ， k是常数．已知当 $t = 5$ 时，污染物含量降为过滤前的 $25 %$ ，那么 $k =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} l n 4$ B、 $\frac{l n 3 - l n 4}{5}$ C、 $\frac{1}{5} l n 4$ D、 $\frac{l n 4 - l n 3}{5}$

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8. 设函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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二、多选题

9. 以下满足 ${0 ， 2 ， 4} \subseteq A ⊊ {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 的集合A有（）

A、 ${0 ， 2 ， 4}$ B、 ${0 ， 1 ， 3 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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10. 下列命题正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a + c > b + d$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ D、若 $a > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a - 1} \geq 3$

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11. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的函数有（）

A、 $y = \sqrt{| x |}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = 2^{| x |}$ D、 $y = | x + 1 |$

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12. 如图，对于任意正数 $u ， v (u < v)$ ．记曲线 $y = \frac{1}{x}$ 与直线 $x = u ， x = v ， y = 0$ 所围成的曲边梯形面积为 $L (u ， v)$ ，并约定 $L (u ， u) = 0$ 和 $L (v ， u) = - L (u ， v)$ ．已知 $L (1 ， x) = l n x$ ，则以下命题正确的有（）

A、 $L (e^{- 1} ， 2) = l n 2 - 1$ B、 $L (2 ， 3) = L (4 ， 6)$ C、对任意正数k和 $1 < u < v$ ，有 $L (u ， v) = L (k u ， k v)$ D、对任意正数k和 $1 < u < v$ ，有 $k L (u ， v) = L (u^{k} ， v^{k})$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = l g (x - 2)$ 的定义域为．

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14. 已知tanα=3，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ = ．

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15. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} + a x + a \geq 0$ 是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = | l g (x - 1) | - k$ 有两个零点分别为a，b，则 $a + b$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， 2)$ ，求b的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，求a的值．

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18. 在①两个相邻对称中心的距离为 $\frac{π}{2}$ ， ②两条相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ， ③两个相邻最高点的距离为 $π$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ ，且满足_________．当 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f (\frac{α}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $s i n α$ 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、已知 $a = f (0 . 2^{3}) ， b = f (l o g_{2} 5) ， c = f (l o g_{3} 7)$ ，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + c o s 2 x + a$ 的最小值为0．

(1)、求a的值：

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为4，求m的最小值．

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21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为 $4 m$ ，圆心O距离水面 $2 m$ ，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求 $t = 13$ 时，点P到水面的距离；

(2)、在点P从 $P_{0}$ 开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于 $4 m$ 的时间有多长？

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22. 已知函数 $f (x) = - 2 x^{2} + 2 a x + 2 a + 1 ， a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上有且仅有1个零点，求a的取值范围：

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求a的值．

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