广东省潮州市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 5}$ B、 ${2 ， 3 ， 5}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${2}$

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2. $s i n (\frac{π}{2} + α) =$ （）

A、 $s i n α$ B、 $c o s α$ C、 $- s i n α$ D、 $- c o s α$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x + 1 < 0$

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4. 函数 $y = \frac{5}{x - 3} + \sqrt{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 3) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $[1 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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5. 已知a > b，则下列式子中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、|a|> |b| C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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6. 已知点P(1，a)在角α的终边上，tan $(a + \frac{π}{4})$ ＝－ $\frac{1}{3} ，$ 则实数a的值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、－2 D、－ $\frac{1}{2}$

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7. 如图，①②③④中不属于函数 $y = \log_{2} x$ ， $y = \log_{0.5} x$ ， $y = - \log_{3} x$ 的一个是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 依次表示函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - x + 1$ ， $g (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x - x + 1$ ， $h (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x + 1$ 的零点，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 具有以下哪些性质（）

A、最大值为 $\sqrt{3}$ ，图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、图象关于y轴对称 C、最小正周期为 $π$ D、图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 成中心对称

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10. 给定函数 $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ （）

A、 $f (x)$ 的图像关于原点对称 B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ C、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上是单调递增 D、 $f (x)$ 有三个零点

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三、填空题

11. 扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的面积为．

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12. 幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $P (9 ， 3)$ ，则 $f (36) =$ ．

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13. 已知 $f (3 x - 1) = 4 x + 2$ ，则 $f (2) =$ ．

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14. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = a (x + 1) - 2^{x}$ ，则 $f (f (3)) =$ ．

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四、解答题

15. 计算

(1)、 $2 \times \sqrt[6]{3^{5}} \times \sqrt[6]{12} \times \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

(2)、 ${(l g 2)}^{2} + l g 2 \cdot l g 5 - l g 20$

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16. $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[1 ， 3]$ ．

(1)、求实数b，c的值；

(2)、 $x \in [0 ， 3]$ 时，求 $f (x)$ 的值域．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、当 $x \in [- \frac{7 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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18. 某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为 $φ (x) = \frac{40}{x + 10}$ $(x > 0)$ ，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．

(1)、写出y关于x的函数表达式；

(2)、求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 是定义在R上的奇函数．

(1)、用定义法证明 $f (x)$ 为增函数；

(2)、对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 3) + f (k x - \frac{k}{x}) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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