广东省揭阳市揭西县2021-2022学年高一上学期数学期末试试卷

试卷更新日期：2022-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {x \in R | - 4 < x < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${x | - 4 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 4 < x < 4}$

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2. $\sin \frac{7 π}{6} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 函数 $f (x) = \ln (1 - 5^{x})$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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4. 设f（x）= ${\begin{matrix} 2 e^{x - 1} ， x < 2 \\ \log_{3} (x^{2} - 1) ， x \geq 2 \end{matrix}$ ，则f（f（2））的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 函数 $f (x) = e^{x} + x - 6$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 已知角 $α$ 的终边经过点 $M (1 ， \sqrt{2})$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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7. $a = \log_{1.1} 0.9$ ， $b = {1.1}^{1.3}$ ， $c = \sin 1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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8. 函数 $f (x) = c o s 2 x + 6 s i n (\frac{π}{2} + x)$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- 5$ C、 $1$ D、 $7$

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二、多选题

9. 设 $a > b > 0$ ， $c \neq 0$ ，则（）

A、 $a b > b c$ B、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $a + c > b + c$

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10. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = | \sin x |$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = - \tan x$ D、 $y = \sin \frac{x}{2}$

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11. 下列说法中正确的是（）

A、命题 $“ \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} > 0 ”$ 的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x < 0$ ” B、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ”的充分不必要条件 C、“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件是“ $a > b$ ” D、函数 $y = \sin x + \frac{4}{\sin x} (x \in (0 ， \frac{π}{2}])$ 的最小值为4

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12. 已知函数 $f (x) = l g (x^{2} + a x - a)$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为R，则 $- 4 \leq a \leq 0$ B、若 $f (x)$ 的值域为R，则 $a \leq - 4$ 或 $a \geq 0$ C、若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty ， - 1)$ D、若 $f (x)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上单调递减，则 $a \leq \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x + 1} - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点.

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m - 1}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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15. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $0 \leq x < 4$ 时， $f (x) = 2^{x} - 3$ ，当 $x \geq 4$ 时， $f (x) = 21 - 2 x$ ，则不等式 $f (x) > 5$ 的解集为．

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16. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $c o s (β - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ， $s i n (α + β) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{4}) =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \sqrt{x + a}$ ，且 $f (1) = 1$ .

(1)、求a和函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在其定义域的单调性.

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18.

(1)、已知 $0 < a < \frac{π}{2}$ ， $\sin α = \frac{4}{5}$ ，求 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $\tan α = 4$ ，求 $\frac{\sin (α + π) - 2 \cos (\frac{π}{2} + α)}{- \sin (- α) + \cos (π + α)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (3 + 2 x) ， g (x) = \log_{a} (3 - 2 x)$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ).

(1)、判断函数 $f (x) - g (x)$ 的奇偶性，并予以证明；

(2)、求使 $f (x) - g (x) > 0$ 的x的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - n x + 2$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (4 ， + \infty)$ ，求不等式 $\frac{m x - 1}{n x + 2} > 0$ 的解集；

(2)、若 $n = m + 2$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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21. 甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v千米/小时（不得超过120千米/小时）．已知该货车每小时的运输成本m（以元为单位）由可变部分 $y_{1}$ 和固定部分 $y_{2}$ 组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的关系是 $y_{1} = \frac{1}{100} v^{2}$ ；固定部分y₂为81元．

(1)、根据题意可得，货车每小时的运输成本m= ，全程行驶的时间为t=；

(2)、求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式；

(3)、为了使全程的运输总成本最小，该货车应以多大的速度行驶？

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22. 已知函数 $f (x) = \sin x ， g (x) = \ln x$ ．

(1)、求方程 $f (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的解；

(2)、求证：对任意的 $a \in R$ ，方程 $f (x) = a g (x)$ 都有解．

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