2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元检测B

试卷更新日期：2022-10-16 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. $t a n 45 °$ 的值等于（）

A、2 B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 $α$ ，则高BC是（）

A、 $12 \sin α$ 米 B、 $12 \cos α$ 米 C、 $\frac{12}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{12}{\cos α}$ 米

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3. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，若 $B D = 2 C D = 6$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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4. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，点D是AC上一点，连接BD.若 $t a n ∠ A = \frac{1}{2}$ ， $t a n ∠ A B D = \frac{1}{3}$ ，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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7. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）

A、 $(4 + 3 \sin α) m$ B、 $(4 + 3 \tan α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{\sin α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{\tan α}) m$

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8. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ $\frac{1}{4}$ ，则FG的长是（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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9. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 $A D // B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ D C B = 30 °$ ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（）

A、 $6 \sqrt{2} m$ B、 $8 \sqrt{2} m$ C、 $4 \sqrt{6} m$ D、 $\sqrt{3} m$

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10. 如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）

A、 $3000 \sqrt{3}$ m B、 $3000 (\sqrt{3} + 1)$ m C、 $3000 (\sqrt{3} - 1)$ m D、 $1500 \sqrt{3}$ m

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为米（精确到 $1$ 米）．（参考数据： $s i n 46 ° 12' \approx 0.72$ ， $c o s 46 ° 12' \approx 0.69$ ， $t a n 46 ° 12' \approx 1.04$ ）

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12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= $\sqrt{2}$ ，则cosA= ．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ A B C = 90 °$ ， $D B$ 平分 $∠ A D C$ .若 $A D = 1$ ， $C D = 3$ ，则 $s i n ∠ A B D =$ .

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14. 如图，校园内有一株枯死的大树 $A B$ ，距树12米处有一栋教学楼 $C D$ ，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶 $D$ 处，测得点 $B$ 的仰角为45°，点 $A$ 的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：① $A B \approx 18.8$ 米；② $C D \approx 8.4$ 米；③若直接从点 $A$ 处砍伐，树干倒向教学楼 $C D$ 方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点 $A$ 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 $C D$ 造成危害.其中正确的是.（填写序号，参考数值： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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15. 定义一种运算； $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ ， $s i n (α - β) = s i n α c o s β - c o s α s i n β$ ．例如：当 $α = 45 °$ ， $β = 30 °$ 时， $s i n (45 ° + 30 °) =$ $\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，则 $s i n 15 °$ 的值为．

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16. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物 $A$ 点处测得乙建筑物 $D$ 点的俯角 $α$ 为 $45 °$ ， $C$ 点的俯角 $β$ 为 $58 °$ ， $B C$ 为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度 $C D$ 为 $6 m$ ，则甲建筑物的高度 $A B$ 为 $m$ .（ $s i n 58 ° \approx 0.85$ ， $c o s 58 ° \approx 0.53$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$ ，结果保留整数）.

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 计算： $| - 3 | - 2 t a n 45 ° + (- 1)^{2022} - (\sqrt{3} - π)^{0}$ .

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18. 计算：2sin60°﹣| $\sqrt{3}$ ﹣2|+（π﹣ $\sqrt{10}$ ）⁰﹣ $\sqrt{12}$ +（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^﹣².

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19. 为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．

测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告

活动课题	测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的	运用三角函数知识解决实际问题
活动工具	测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图		测量步骤	如图② ⑴利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； ⑵前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据	sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

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20. 某数学小组要测量学校路灯 $P - M - N$ 的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角 $α$
$α = 58 °$
从D处测得路灯顶部P的仰角 $β$
$β = 31 °$
测角仪到地面的距离
$A B = D C = 1.6 m$
两次测量时测角仪之间的水平距离
$B C = 2 m$
计算路灯顶部到地面的距离 $P E$ 约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据； $c o s 31 ° \approx 0.86 ， t a n 31 ° \approx 0.60 ， c o s 58 ° \approx 0.53 ， t a n 58 ° \approx 1.60$ ）

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21. 如图， $A B$ 是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高 $D H = C G = 1.5$ 米．某数学兴趣小组为测量建筑物 $A B$ 的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角 $∠ A D E$ 为 $α$ ，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角 $∠ A C E$ 为 $45 °$ ，已知 $t a n α = \frac{7}{9} ， A B ⊥ B H$ ， H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物 $A B$ 的高度．

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22. 小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ $\frac{3}{8}$ ， cos22°≈ $\frac{15}{16}$ ， tan22°≈ $\frac{2}{5}$ ， sin67°≈ $\frac{12}{13}$ ， cos67°≈ $\frac{5}{13}$ ， tan67°≈ $\frac{12}{5}$ ．

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23. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．

(1)、求该滑雪场的高度h；

(2)、据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m³ ，且甲设备造雪150m³所用的时间与乙设备造雪500m³所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

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24. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图， $O A$ 是垂直于工作台的移动基座， $A B$ 、 $B C$ 为机械臂， $O A = 1$ m， $A B = 5$ m， $B C = 2$ m， $∠ A B C = 143 °$ ．机械臂端点 $C$ 到工作台的距离 $C D = 6$ m．

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两点之间的距离；

(2)、求 $O D$ 长．（结果精确到0.1m，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

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25. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

(1)、探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 $O$ 处，另一端系小重物 $G$ .测量时，使支杆 $O M$ 、量角器90°刻度线 $O N$ 与铅垂线 $O G$ 相互重合（如图①），绕点 $O$ 转动量角器，使观测目标 $P$ 与直径两端点 $A 、 B$ 共线（如图②），此目标 $P$ 的仰角 $∠ P O C = ∠ G O N$ .请说明两个角相等的理由.

(2)、实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 $K$ 处测得顶端 $P$ 的仰角 $∠ P O Q = 60^{\circ}$ ，观测点与树的距离 $K H$ 为5米，点 $O$ 到地面的距离 $O K$ 为1.5米；求树高 $P H$ . （ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1米）

(3)、拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 $P$ 距离地面高度 $P H$ （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 $E 、 F$ （ $E 、 F 、 H$ 在同一直线上），分别测得点 $P$ 的仰角 $α 、 β$ ，再测得 $E 、 F$ 间的距离 $m$ ，点 $O_{1} 、 O_{2}$ 到地面的距离 $O_{1} E 、 O_{2} F$ 均为1.5米；求 $P H$ （用 $α 、 β 、 m$ 表示）.

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测量项目	测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角 $α$	$α = 58 °$
从D处测得路灯顶部P的仰角 $β$	$β = 31 °$
测角仪到地面的距离	$A B = D C = 1.6 m$
两次测量时测角仪之间的水平距离	$B C = 2 m$

2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章 《锐角三角函数》单元检测B

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元检测B