2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元检测A

试卷更新日期：2022-10-16 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米， $∠ P Q T = α$ ，则河宽PT的长度是（）

A、 $m s i n α$ B、 $m c o s α$ C、 $m t a n α$ D、 $\frac{m}{t a n α}$

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2. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， $A D$ 垂直地面，垂足为点D， $B C ⊥ A D$ ，垂足为点C．设 $∠ A B C = α$ ，下列关系式正确的是（）

A、 $s i n α = \frac{A B}{B C}$ B、 $s i n α = \frac{B C}{A B}$ C、 $s i n α = \frac{A B}{A C}$ D、 $s i n α = \frac{A C}{A B}$

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3. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据： $s i n 22 ° \approx 0.37$ ， $t a n 22 ° \approx 0.40$ ， $s i n 58 ° \approx 0.85$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$ ）

A、28m B、34m C、37m D、46m

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4. 如图，在 $4 \times 4$ 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 $△ A B C$ 的顶点均是格点，则 $c o s ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 $45 °$ ，在点B处测得树顶C的仰角为 $60 °$ ，且A，B，D三点在同一直线上，若 $A B = 16 m$ ，则这棵树 $C D$ 的高度是（）

A、 $8 (3 - \sqrt{3}) m$ B、 $8 (3 + \sqrt{3}) m$ C、 $6 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $6 (3 + \sqrt{3}) m$

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6. 如图，某地修建一座高 $B C = 5 m$ 的天桥，已知天桥斜面 $A B$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，则斜坡 $A B$ 的长度为（）

A、 $10 m$ B、 $10 \sqrt{3} m$ C、 $5 m$ D、 $5 \sqrt{3} m$

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7. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠到 $△ B E D$ 位置， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $c o s ∠ A D F$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{15}{17}$ D、 $\frac{8}{15}$

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8. 如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）

A、 $m (\cos α - \sin α)$ B、 $m (\sin α - \cos α)$ C、 $m (\cos α - \tan α)$ D、 $\frac{m}{\sin α} - \frac{m}{\cos α}$

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9. 如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β， $C D = a$ ，则建筑物AB的高度为（）

A、 $\frac{a}{t a n α - t a n β}$ B、 $\frac{a}{t a n β - t a n α}$ C、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n α - t a n β}$ D、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n β - t a n α}$

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10. 由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ $\frac{4}{5}$ ，则cosB＝．

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12. 一艘轮船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔30海里的 $A$ 处，它沿北偏东 $30 °$ 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $67 °$ 方向上的 $B$ 处，此时与灯塔 $P$ 的距离约为海里．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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13. 某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果按四舍五八保留一位小数）

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14. 如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是nmile．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ，保留整数结果）

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15. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a²＝b²＋c²﹣2bccosA

b²＝a²＋c²﹣2accosB

c²＝a²＋b²﹣2abcosC

现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 上的点， $A E = A B$ ， $B E = D E$ ，则 $t a n ∠ B D E =$ ．

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 计算： $\sqrt{16}$ ﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）⁰ ．

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18. 计算： ${(\sqrt{36} - 1)}^{0} + | \sqrt{3} - 2 | + 2 c o s 30 ° - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

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19. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 $∠ A D C = 31 °$ ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 $∠ A F C = 42 °$ ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， $A B ⊥ B E$ ， $A C ⊥ C D$ ， $C D = B E$ ， $B C = D E$ ．结果精确到0.1m）（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90$ ）

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20. 如图是某水库大坝的横截面，坝高 $C D = 20 m$ ，背水坡BC的坡度为 $i_{1} = 1 ： 1$ .为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 $i_{2} = 1 ： \sqrt{3}$ ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ .结果精确到0.1m）

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21. 随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡 $C B$ 上有一建成的5G基站塔 $A B$ ，小明在坡脚 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，然后他沿坡面 $C B$ 行走了50米到达 $D$ 处， $D$ 处离地平面的距离为30米且在 $D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角 $53 °$ ．（点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 均在同一平面内， $C E$ 为地平线）（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

(1)、求坡面 $C B$ 的坡度；

(2)、求基站塔 $A B$ 的高．

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22. 交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪 $C$ 和测速仪 $E$ 到路面之间的距离 $C D = E F = 7 m$ ，测速仪 $C$ 和 $E$ 之间的距离 $C E = 750 m$ ，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪 $C$ 处测得小汽车在隧道入口 $A$ 点的俯角为25°，在测速仪 $E$ 处测得小汽车在 $B$ 点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点 $A$ 行驶到点 $B$ 所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）.

(1)、求 $A$ ， $B$ 两点之间的距离（结果精确到1m）；

(2)、若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点 $A$ 行驶到点 $B$ 是否超速？通过计算说明理由.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $s i n 25 ° \approx 0.4$ ， $c o s 25 ° \approx 0.9$ ， $t a n 25 ° \approx 0.5$ ， $s i n 65 ° \approx 0.9$ ， $c o s 65 ° \approx 0.4$ ）

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23. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C = 60 °$ .综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得 $A E = 3$ m， $E F = 8$ m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长（结果保留根号）；

(2)、求灯管支架 $C D$ 的长度（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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24. 亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）.求：

(1)、两位市民甲、乙之间的距离CD；

(2)、此时飞机的高度AB，（结果保留根号）

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25. 无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼 $C D$ 楼顶D处的俯角为 $45 °$ ，测得楼 $A B$ 楼顶A处的俯角为 $60 °$ .已知楼 $A B$ 和楼 $C D$ 之间的距离 $B C$ 为100米，楼 $A B$ 的高度为10米，从楼 $A B$ 的A处测得楼 $C D$ 的D处的仰角为 $30 °$ （点A，B，C，D、P在同一平面内）.

(1)、填空： $∠ A P D =$ 度， $∠ A D C =$ 度；

(2)、求楼 $C D$ 的高度（结果保留根号）；

(3)、求此时无人机距离地面 $B C$ 的高度.

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2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章 《锐角三角函数》单元检测A

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元检测A