2022年秋季浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》单元检测B

试卷更新日期：2022-10-16 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C ， D E = 2 ， B C = 5$ ，则 $S_{△ A D E} ： S_{△ A B C}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{25}$ B、 $\frac{4}{25}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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3. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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4. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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5. 如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A、①③ B、①②③ C、②③ D、①②④

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6. 如图，△ABC内接于⊙O ， AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E ，若∠BDC＝45°，BC＝6 $\sqrt{2}$ ，CE＝2DE ，则CE的长为（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、4 $\sqrt{3}$

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7. 如图，点 $A (0 ， 3) 、 B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 ° ， B C = 2 A B$ ，则点D的坐标是（）

A、 $(7 ， 2)$ B、 $(7 ， 5)$ C、 $(5 ， 6)$ D、 $(6 ， 5)$

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8. 如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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9. 如图，点E在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点A恰好落在 $B C$ 边上的点F处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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10. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点M，N分别是边 $B C 、 C D$ 上的动点， $∠ B A C = ∠ M A N = 60 °$ ，连接 $M N 、 O M$ .以下四个结论正确的是（）
① $△ A M N$ 是等边三角形；② $M N$ 的最小值是 $\sqrt{3}$ ；③当 $M N$ 最小时 $S_{△ C M N} = \frac{1}{8} S_{菱形 A B C D}$ ；④当 $O M ⊥ B C$ 时， $O A^{2} = D N \cdot A B$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线 $B D$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A D$ 于点 $E$ 、交 $B C$ 于点 $F$ ，则线段 $E F$ 的长为.

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 5$ ，点P为 $B C$ 边上任意一点，连接 $P A$ ，以 $P A$ ， $P C$ 为邻边作平行四边形 $P A Q C$ ，连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 长度的最小值为.

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13. 如图， $∠ A O B = 60 °$ ，点 $P_{1}$ 在射线 $O A$ 上，且 $O P_{1} = 1$ ，过点 $P_{1}$ 作 $P_{1} K_{1} ⊥ O A$ 交射线 $O B$ 于 $K_{1}$ ，在射线 $O A$ 上截取 $P_{1} P_{2}$ ，使 $P_{1} P_{2} = P_{1} K_{1}$ ；过点 $P_{2}$ 作 $P_{2} K_{2} ⊥ O A$ 交射线 $O B$ 于 $K_{2}$ ，在射线 $O A$ 上截取 $P_{2} P_{3}$ ，使 $P_{2} P_{3} = P_{2} K_{2}$ .按照此规律，线段 $P_{2023} K_{2023}$ 的长为．

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14. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $2 \sqrt{10}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 9$ ， $B C = 12$ .在 $R t △ D E F$ 中， $∠ F = 90 °$ ， $D F = 3$ ， $E F = 4$ .用一条始终绷直的弹性染色线连接 $C F$ ， $R t △ D E F$ 从起始位置（点 $D$ 与点 $B$ 重合）平移至终止位置（点 $E$ 与点 $A$ 重合），且斜边 $D E$ 始终在线段 $A B$ 上，则 $R t △ A B C$ 的外部被染色的区域面积是.

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16. 在矩形ABCD中， $A B = 9$ ， $A D = 12$ ，点E在边CD上，且 $C E = 4$ ，点P是直线BC上的一个动点．若 $△ A P E$ 是直角三角形，则BP的长为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，点A，B，C，D在⊙O上， $\overset{⌢}{A B}$ ＝ $\overset{⌢}{C D}$ .求证：

(1)、AC＝BD；

(2)、△ABE∽△DCE.

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18. 如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)、画出位似中心点O；

(2)、直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；

(3)、以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，D在 $A C$ 上， $D E // B C$ ， $D F // A B$ .

(1)、求证： $△ D F C$ ∽ $△ A E D$ ；

(2)、若 $C D = \frac{1}{3} A C$ ，求 $\frac{S_{△ D F C}}{S_{△ A E D}}$ 的值.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B C E = ∠ A C D$ .

(1)、求证： $△ A B C \sim △ D E C$ ；

(2)、若 $S_{△ A B C} ： S_{△ D E C} = 4 ： 9$ ， $B C = 6$ ，求 $E C$ 的长.

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21. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 边上一点（不与点B、C重合），连结 $A D$ .

(1)、如图1，若 $∠ C = 60 °$ ，点D关于直线 $A B$ 的对称点为点E，结 $A E$ ， $D E$ ，则 $∠ B D E =$ ；

(2)、若 $∠ C = 60 °$ ，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连结 $B E$ .
①在图2中补全图形；

②探究 $C D$ 与 $B E$ 的数量关系，并证明；

(3)、如图3，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E} = k$ ，且 $∠ A D E = ∠ C$ ，试探究 $B E$ 、 $B D$ 、 $A C$ 之间满足的数量关系，并证明.

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22. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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23. 如图

问题提出：如图（1）， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E = D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{A F}{A B}$ 的值.

(1)、问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当 $∠ B A C = 60 °$ 时，直接写出 $\frac{A F}{A B}$ 的值；

(2)、再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.

(3)、问题拓展：
如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{C G}{B C} = \frac{1}{n} (n < 2)$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E = D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ .直接写出 $\frac{A F}{A B}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）.

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24. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.

(1)、如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是；

(2)、如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）

(3)、若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.

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2022年秋季浙教版数学九年级上册第四章 《相似三角形》单元检测B

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

2022年秋季浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》单元检测B