2022年秋季浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》单元检测A

试卷更新日期：2022-10-14 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 给出四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，两条直线被三条平行线所截，若AC＝4，CE＝6，BD＝2，则DF＝（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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4. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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5. 如图，在平面直角坐标系中， $C$ 为 $△ A O B$ 的 $O A$ 边上一点， $A C ： O C = 1 ： 2$ ，过 $C$ 作 $C D ∥ O B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C$ 、 $D$ 两点纵坐标分别为1、3，则 $B$ 点的纵坐标为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 如图，如果 $∠ B A D = ∠ C A E$ ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定 $△ A B C$ ∽ $△ A D E$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $\frac{A B}{A D} = \frac{D E}{B C}$ C、 $∠ C = ∠ A E D$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $M$ 为 $A D$ 中点，连接 $C M$ 交 $B D$ 于点 $N$ ，则 $S_{△ M D N}$ ： $S_{△ B C D} =$ （）

A、1：3 B、1：5 C、2：3 D、1：6

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B < A C$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ .下列结论：① $△ A F E ∼ △ D F C$ ；② $D A$ 平分 $∠ B D E$ ；③ $∠ C D F = ∠ B A D$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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9. 如图，在 △ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S₁ ， △EBD的面积为S₂ ．则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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10. 如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A、①③ B、①②③ C、②③ D、①②④

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F．若 $A B = 6$ ，则 $△ A E F$ 的面积为．

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12. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 在第一象限的图象上有 $A (1 ， 6)$ ， $B (3 ， b)$ 两点，直线 $A B$ 与x轴相交于点C，D是线段 $O A$ 上一点．若 $A D \cdot B C = A B \cdot D O$ ，连接 $C D$ ，记 $△ A D C ， △ D O C$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 5$ ，点P为 $B C$ 边上任意一点，连接 $P A$ ，以 $P A$ ， $P C$ 为邻边作平行四边形 $P A Q C$ ，连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 长度的最小值为.

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14. 如图是一架梯子的示意图，其中AA₁∥BB₁∥CC₁∥DD₁ ，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D₁间加绑一条安全绳（线段AD₁）量得AE＝0.4m，则AD₁＝m.

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15. 已知 $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ B = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 5 ， A E = 2 \sqrt{5} ，$ 连接 $C E$ 以 $C E$ 为底作直角三角形 $C D E$ 且 $C D = D E ，$ $F$ 是 $A E$ 边上的一点，连接 $B D$ 和 $B F ，$ $B D$ 且 $∠ F B D = 45 ° ，$ 则 $A F$ 长为．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 相交于点O，过点B作 $B F ⊥ A C$ 于点M，交 $C D$ 于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N.交AB于点E，连接 $F N$ ， $E M$ .有下列结论：①四边形 $N E M F$ 为平行四边形，② $D N^{2} = M C \cdot N C$ ；③ $△ D N F$ 为等边三角形；④当 $A O = A D$ 时，四边形DEBF是菱形.正确结论的序号.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，点 $D$ 、 $D^{'}$ 分别在边 $B C$ 、 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上，且 $△ A C D ∽ △ A^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 ▲ ，则 $△ A B D ∽ △ A^{'} B^{'} D^{'}$ ．请从① $\frac{B D}{C D} = \frac{B^{'} D^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ；② $\frac{A B}{C D} = \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ；③ $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'}$ 这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．

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18. 如图，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E为 $A B$ 的中点，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点F，延长 $C E$ 交 $⊙ O$ 于点G，连接 $B G$ .

(1)、求证： $F B^{2} = F E \cdot F G$ ；

(2)、若 $A B = 6$ .求 $F B$ 和 $E G$ 的长.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，点E在 $A C$ 的延长线上， $∠ A C D = ∠ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A E B$ ；

(2)、当 $A B = 6 ， A C = 4$ 时，求 $A E$ 的长．

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20. 已知：点C，D均在直线l的上方， $A C$ 与 $B D$ 都是直线l的垂线段，且 $B D$ 在 $A C$ 的右侧， $B D = 2 A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O.

(1)、如图1，若连接 $C D$ ，则 $△ B C D$ 的形状为， $\frac{A O}{A D}$ 的值为；

(2)、若将 $B D$ 沿直线l平移，并以 $A D$ 为一边在直线l的上方作等边 $△ A D E$ .
①如图2，当 $A E$ 与 $A C$ 重合时，连接 $O E$ ，若 $A C = \frac{3}{2}$ ，求 $O E$ 的长；
②如图3，当 $∠ A C B = 60 °$ 时，连接 $E C$ 并延长交直线l于点F，连接 $O F$ .求证： $O F ⊥ A B$ .

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21. 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ D B C$ 的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $h$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ， $S_{△ D B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ．
∴ $S_{△ A B C} = S_{△ D B C}$ ．
【探究】

(1)、如图②，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，设点 $A$ ， $D$ 到直线 $l_{2}$ 的距离分别为 $h$ ， $h^{'}$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{h}{h^{'}}$ ．
证明：∵ $S_{△ A B C}$       ▲
      ▲
      ▲

(2)、如图③，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，连接 $A D$ 并延长交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．
证明：过点 $A$ 作 $A E ⊥ B M$ ，垂足为 $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B M$ ，垂足为 $F$ ，则 $∠ A E M = ∠ D F M = 90 °$ ，
∴ $A E ∥$       ▲ ．
∴ $△ A E M ∽$       ▲ ．
∴ $\frac{A E}{D F} = \frac{A M}{D M}$ ．
由【探究】（1）可知 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} =$       ▲ ，
∴ $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．

(3)、如图④，当点 $D$ 在 $l_{2}$ 下方时，连接 $A D$ 交 $l_{2}$ 于点 $E$ ．若点 $A$ ， $E$ ， $D$ 所对应的刻度值分别为5，1.5，0， $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}}$ 的值为．

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是一条对角线，且 $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $E$ ， $F$ 是 $A D$ 边上两点，点 $F$ 在点 $E$ 的右侧， $A E = D F$ ，连接 $C E$ ， $C E$ 的延长线与 $B A$ 的延长线相交于点 $G$ ．

(1)、如图1， $M$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A M$ ， $M F$ ， $M F$ 与 $C E$ 相交于点 $N$ ．
①若 $A E = \frac{3}{2}$ ，求 $A G$ 的长；
②在满足①的条件下，若 $E N = N C$ ，求证： $A M ⊥ B C$ ；

(2)、如图2，连接 $G F$ ， $H$ 是 $G F$ 上一点，连接 $E H$ ．若 $∠ E H G = ∠ E F G + ∠ C E F$ ，且 $H F = 2 G H$ ，求 $E F$ 的长．

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23. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ D C E$ ；

(2)、当 $\overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{C B} ， ∠ D F E = 2 ∠ C D B$ 时，则 $\frac{A E}{B E} - \frac{D E}{C E} =$ ； $\frac{A F}{A B} + \frac{F E}{A D} =$ ； $\frac{1}{A B} + \frac{1}{A D} - \frac{1}{A F} =$ .（直接将结果填写在相应的横线上）

(3)、①记四边形ABCD， $△ A B E ， △ C D E$ 的面积依次为 $S ， S_{1} ， S_{2}$ ，若满足 $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$ ，试判断， $△ A B E ， △ C D E$ 的形状，并说明理由.
②当 $\overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{C B}$ ， $A B = m ， A D = n ， C D = p$ 时，试用含m，n，p的式子表示 $A E \cdot C E$ .

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