浙江省精诚联盟2022-2023学年高一上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列结论不正确的是（）

A、 $0 \in N$ B、 $\frac{1}{3} \in Q$ C、 $- 2 \in Z$ D、 $π \notin (∁_{R} Q)$

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2. 集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 2 ， 1 ， 3}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、（-2） B、 ${0 ， 1 ， 3}$ C、 ${0 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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3. 已知命题p： $\exists$ x <1， $x^{2} \leq 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall$ x ≥1， $x^{2}$ ＞ $1$ B、 $\exists$ x <1， $x^{2} > 1$ C、 $\forall$ x <1， $x^{2} > 1$ D、 $\exists$ x ≥1， $x^{2} > 1$

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4. 下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 不相等的是（）

A、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ 与 $g (t) = t^{2} + 1$ C、 $f (x) = | x^{2} - 1 |$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 1 & x \geq 1 或 x \leq - 1 \\ 1 - x^{2} & - 1 < x < 1 \end{array}$ D、 $f (x) = \sqrt{(x - 1) (x + 1)}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x - 1}$

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5. 已知 $f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{x + 1}$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $\frac{1}{x + 1}$ B、 $\frac{x + 1}{x}$ C、 $\frac{x}{x + 1}$ D、 $x + 1$

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6. 若函数 $y = f (2 x)$ 的定义域是 $[0 ， 1011]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[- 1 ， 2021]$ B、 $[- 1 ， 1) ∪ (1 ， 2021]$ C、 $[0 ， 2022]$ D、 $[- 1 ， 1) ∪ (1 ， 2022]$

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7. 实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} = 2 a + c - b - 1$ 且 $a + b^{2} + 1 = 0$ ，则下列关系成立的是（）

A、 $b > a \geq c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c \geq a$ D、 $c > b > a$

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8. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数 $y = [x] ， [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[1.1] = 1 ， [- 1.1] = - 2$ .已知 $f (x) = [\frac{2 x - 1}{x + 1}] ， x \in (- ∞ ， - 3) \cup (2 ， + ∞)$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3}$

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二、多选题

9. 已知实数 $a > b > c ， a b c \neq 0$ ，则下列结论一定正确的有（）

A、 $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$ B、 $a b^{2} > b^{2} c$ C、 $\frac{1}{a c^{2}} > \frac{1}{a^{2} c}$ D、 $a b + b c > a c + b^{2}$

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10. 设 $x ∈ R$ ，则“ $3 x^{2} + 5 x - 2 > 0$ ”成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x > \frac{1}{3}$ B、 $x < - 2$ 或 $x > \frac{1}{3}$ C、 $x < - 3$ D、 $x < - 2$

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11. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $(k^{2} - 1) x^{2} + 4 (1 - k) x + 3 \leq 0$ ”是假命题，则 $k$ 的值可能为（）

A、-1 B、1 C、4 D、7

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12. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 若 $- 1 < a + b < 3 ， 2 < a - b < 4 ， t = 2 a + b$ ，则 $a$ 的取值范围为； $t$ 的取值范围为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 0 \\ x + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ； $f (f (a)) = 4$ ，则实数 $a =$ .

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15. 为防控新冠疫情，需要对公共场所进行消杀.某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位消毒剂，空气中释放的浓度 $y$ （单位： $m g / m^{3}$ ）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为 $y = {\begin{array}{l} \frac{16}{8 - x} - 1 ， 0 \leq x \leq 4 \\ 5 - \frac{1}{2} x ， 4 < x \leq 10 \end{array}$ ，若进行多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷酒的消毒剂在相应时刻的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 $4 m g / m^{3}$ 时，它才能起到杀灭病毒的作用.若一次喷酒4个单位的消毒剂，则消毒起作用时间最多可持续天.若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷酒 $a (1 ≤ a ≤ 4)$ 个单位的药剂，要使接下来的4天都能够持续有效杀毒，则 $a$ 的最小值为.（精确到 $0.1$ ，参考数据： $\sqrt{2}$ 取1.4）

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16. 已知 $p ： \frac{5}{x + 1} \geq 2 ， q ： (x - 2 m) (x + m) \leq 0$ ，其中 $m \neq 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 2} ， B = {x ∣ 2 m < x < 3}$ ，

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A ∪ B ， (∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若 $\emptyset$ 是 $A ∩ B$ 的真子集，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $B ∩ (∁_{R} A)$ 中只有一个整数，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知 $a > 1 ， b > 2$

(1)、若 $(a - 1) (b - 2) = 4$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值及此时 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $2 a + b = 6$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值及此时 $a ， b$ 的值；

(3)、若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值及此时 $a ， b$ 的值.

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19. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(1 ， t)$ ，记函数 $f (x) = a x^{2} + (a - b) x - c$ .

(1)、求证：方程 $f (x) = 0$ 必有两个不同的根；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $| x_{2} - x_{1} |$ 的取值范围；

(3)、是否存在这样实数的 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 及 $t$ ，使得函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上的值域为 $[- 6 ， 12]$ .若存在，求出 $t$ 的值及函数 $y = f (x)$ 的解析式；若不存在，说明理由.

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