浙江省三校2022-2023学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $Z = \frac{1 + 3 i}{1 - i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| Z |$ =（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 若平面内两条平行线 $l_{1}$ ： $x + (a - 1) y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + 2 y + 1 = 0$ 间的距离为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-2或1 C、-1 D、-1或2

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3. 已知圆锥的底面半径为 $1$ ，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3} π$ D、 $\sqrt{5} π$

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4. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $M$ 是棱 $O A$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N ， P$ 分别是 $B C ， M N$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O P}$ ，则（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为O， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C$ 为钝角，M是线段BC的中点，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A O} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， $A B$ 为圆锥底面圆的直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $D$ 是母线 $S A$ 的中点，则异面直线 $S C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 若正数 $a ， c$ 满足 $(a - 1) (c - 1) = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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8. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 和 $△ D C M$ 沿 $A M ， D M$ 翻折，使点 $B$ 与点 $C$ 重合于点 $P$ ，若 $∠ A P D = 150 °$ ，则三棱锥 $M - P A D$ 的外接球的表面积为（）

A、12π B、17π C、24π D、68π

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $y = a x - 2 a + 4 (a \in R)$ 恒过定点 B、直线 $y + 1 = 3 x$ 在 $y$ 轴上的截距为1 C、直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $15 0^{∘}$ D、已知直线 $l$ 过点 $P (2 ， 4)$ ，且在 $x ， y$ 轴上截距相等，则直线 $l$ 的方程为 $x + y - 6 = 0$

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10. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， \frac{π}{2} < φ < π)$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内可能（）

A、单调递增 B、单调递减 C、有最小值，无最大值 D、有最大值，无最小值

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11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 $M =$ “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 $N =$ “第二枚骰子的点数为偶数”，则（）

A、M与N互斥 B、M与N不对立 C、M与N相互独立 D、 $P (M \cup N) = \frac{3}{4}$

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12. 如图，若正方体的棱长为1，点 $M$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点(含边界)， $P$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、沿正方体的表面从点A到点 $P$ 的最短路程为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、若保持 $| P M | = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内运动路径的长度为 $\frac{π}{3}$ C、三棱锥 $B - C_{1} M D$ 的体积最大值为 $\frac{1}{6}$ D、若点 $M$ 在 $A_{1} D$ 上运动，则 $D_{1}$ 到直线 $P M$ 的距离的最小值为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 点 $P (- 2 ， - 1)$ 到直线 $l ： (1 + 3 λ) x + (1 + 2 λ) y = 2 + 5 λ (λ \in R) (λ \in R)$ 的距离的取值范围为．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 6 \sqrt{2}$ ，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3} \vec{b}$ ，则 $\vec{b}$ 的模为．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - \frac{x - 1}{2 - x} ， g (x) = x^{\frac{1}{2}} - l n \frac{1}{x}$ ．若对 $\forall x_{1} \in [- l o g_{2} 3 ， 0] ， \exists x_{2} \in [e ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为．

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16. 如图，在四棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A A^{'} = 3$ ， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 6 0^{∘}$ ，则 $| \vec{A C^{'}} - (x \vec{A B} + y \vec{A D}) | (x ， y \in R)$ 的最小值为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，设 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C = \sqrt{2} s i n A \cdot s i n B$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c o s B = \frac{3}{5}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $C D = 4 B D$ ， $△ A C D$ 的面积为 $\frac{7}{5}$ ，求 $A C$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 顶点 $A (4 ， 1)$ ， $A B$ 边上中线 $C M$ 所在直线方程是 $2 x - y - 6 = 0$ ， $∠ A B C$ 的角平分线所在直线方程是 $2 x + y - 3 = 0$ .

(1)、求顶点 $B$ 坐标；

(2)、求边 $B C$ 所在的直线方程.

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19. 如图，已知三棱锥 $S - A B C$ ， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 12 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $S A = \sqrt{3}$ . $M$ 、 $N$ 分别为 $S B$ 、 $S C$ 的中点.

(1)、证明： $B C / /$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求点 $M$ 到平面 $A B N$ 的距离.

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20. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 $m$ 人，按年龄分成5组，其中第一组： $[20 ， 25)$ ，第二组： $[25 ， 30)$ ，第三组： $[30 ， 35)$ ，第四组： $[35 ， 40)$ ，第五组： $[40 ， 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人的平均年龄和第80百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这 $m$ 人中35~45岁所有人的年龄的方差.

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21. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C B ⊥ B D$ ， $∠ C_{1} C D = 4 5^{∘} ， ∠ C_{1} C B = 6 0^{∘}$ ， $C C_{1} = C B = B D = 1$ ，

(1)、求对角线 $C A_{1}$ 的长度；

(2)、求二面角 $C - B D - C_{1}$ 的余弦值.

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22. 如图，设直线 $l_{1}$ ： $x = 0$ ， $l_{2}$ ： $3 x - 4 y = 0 ．$ 点A的坐标为 $(1 ， a) (a > \frac{3}{4}) ．$ 过点A的直线l的斜率为k，且与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于点M， $N (M ，$ N的纵坐标均为正数 $) ．$

(1)、设 $a = 1$ ，求 $△ M O N$ 面积的最小值；

(2)、是否存在实数a，使得 $\frac{1}{| O M |} + \frac{1}{| O N |}$ 的值与k无关 $？$ 若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．

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