天津市武清区四校2022-2023学年高二上学期数学第一次阶段性练习试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知点 $A (3 ， 1 ， - 2)$ 、 $B (2 ， 3 ， - 1)$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 4 ， 0)$ ，则 $4 \vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(16 ， 0 ， 4)$ B、 $(8 ， 16 ， 4)$ C、 $(8 ， - 16 ， 4)$ D、 $(8 ， 0 ， 4)$

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3. 若空间向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，且 $- \vec{a} + (3 x - y) \vec{b} = x \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，则xy＝（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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4. 点 $A (- 1 ， 2 ， 7)$ 关于 $x O z$ 平面对称的点为 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 2 ， - 7)$ B、 $(- 1 ， - 2 ， 7)$ C、 $(1 ， 2 ， - 7)$ D、 $(1 ， - 2 ， 7)$

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5. 已知直线 $l_{1}$ 的倾斜角为30°，直线 $l_{2}$ 经过点 $A (1 ， 2 \sqrt{3})$ ， $B (2 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的位置关系是（）．

A、平行或重合 B、平行 C、垂直 D、以上都不对

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6. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 已知空间三点 $A (3 ， 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 2 ， 2)$ ， $C (3 ， 0 ， 1)$ ，则 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图所示，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）.

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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9. 已知 $A (- 1 ， 2) ， B (4 ， 7)$ ，若过点 $C (2 ， 0)$ 的直线与线段 $A B$ 相交，则该直线斜率的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3} ， \frac{7}{2}]$ B、 $(- ∞ ， - \frac{2}{3}] ∪ [\frac{7}{2} ， + ∞)$ C、 $(- \frac{3}{7} ， \frac{2}{7})$ D、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) ∪ (\frac{7}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

10. 已知过点 $A (m + 1 ， 0)$ 、 $B (- 5 ， m)$ 的直线与过点 $C (- 4 ， 3)$ 、 $D (0 ， 5)$ 的直线平行，则m的值为．

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11. 若 $\vec{n} = (- 2 ， 1)$ 是直线l的一个方向向量，则l的斜率为．

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12. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 3) ， \vec{b} = (λ - 1 ， 3 - λ ， - 6)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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13. 已知P和不共线三点A，B，C，四点共面且对于空间任意一点O，都有 $\overset{⇀}{O P} =$ $2 \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + λ \overset{⇀}{O C}$ ，则λ＝.

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14. 设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，且 $- 1 \leq k < \sqrt{3}$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围为.

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15. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为.

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三、解答题

16. 已知坐标平面内三点 $A (- 2 ， - 4) ， B (2 ， 0) ， C (- 1 ， 1)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的斜率和倾斜角；

(2)、若 $A ， B ， C ， D$ 可以构成平行四边形，且点 $D$ 在第一象限，求点 $D$ 的坐标.

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17. 如图，在棱长是2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $E B_{1} ⊥ A D_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $D_{1} E$ 与 $A B_{1}$ 所成角的余弦值；

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18. 已知：在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $M$ 为 $P D$ 中点， $P A = A D = 1$ .

(1)、求证：平面 $M A C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角大小；

(3)、求点 $P$ 到平面 $M A C$ 的距离.

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19. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B_{1} F$ $∥$ 平面 $A_{1} B E$

(2)、求直线 $B E$ 和平面 $A_{1} C_{1} E$ 所成的角的正弦值．

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 夹角的余弦值．

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20. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， A A_{1} = 6$ .

(1)、求证： $B D ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $A - A_{1} C - D_{1}$ 的余弦值；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得平面 $A_{1} C D_{1} ⊥$ 平面 $P B D$ ，若存在，求出 $\frac{C P}{P C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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