江西省智学联盟体2022-2023学年高二上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $U = R ， A = {x | | x - 1 | > 1} ， B = {x | y = l o g_{2} (x + 1)}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 0}$

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2. 已知i是虚数单位，复数z满足 $(z + 1) (2 - i) = 3 + i^{2021}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 已知 $a = t a n 2022 ° ， b = 202 2^{0.2} ， c = l o g_{2022} 0.2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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4. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3}) ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影数量为 $\frac{3}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知m，n是两条不同的直线， $α 、 β$ 是两个不同的平面，给出下列说法：
①若 $m ∥ α ， n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ ；②若 $m \subset α ， n \subset α ， m ∥ β ， n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ ；③若 $m ⊥ β ， n ⊥ β ， n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ ；④若 $m ⊥ α ， m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ ．
其中说法正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，如果存在实数 $m$ ，使得 $f (m + x) \cdot f (m - x) = 1$ 对任意实数 $x \in R$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为关于 $m$ 的“ $δ$ 函数”．已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是关于0和1的“ $δ$ 函数”，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， 2]$ ，则当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 2]$

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8. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，下底面 $△ A B C$ 是直角三角形，且 $∠ B A C = 90 °$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 与 $B C C_{1} B_{1}$ 都是直角梯形，且 $A C = 2 C C_{1} = 2 ， ∠ C A A_{1} = \frac{π}{4}$ ，若异面直线AC与 $B_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则BC与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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二、多选题

9. 为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为认知程度较高），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）

A、成绩是50分或100分的职工人数是0 B、对“一带一路”认知程度较高的人数是35人 C、中位数是74.5 D、平均分是75.5

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10. 已知函数 $f (x) = c o s \frac{ω x}{2} (c o s \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} s i n \frac{ω x}{2}) - \frac{1}{2} (ω > 0 ， x \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{2}{3} \leq ω \leq \frac{4}{3}$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内一定取得到最大值 D、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 内至多有一个零点

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、点B与点C到平面 $A P D_{1}$ 的距离相等 B、平面 $A P D_{1}$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ C、三棱锥 $C - A P D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、异面直线AP与CD所成角为 $\frac{π}{6}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点， $| A B | = 4 ， ∠ A F_{2} B = \frac{π}{3}$ ，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{2}$ C、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围为 $[3 ， 6]$ D、C上有且只有4个点P，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，AD为BC边上的中线，点E在线段AD上，且 $A E = \frac{1}{2} D E$ ，若 $\vec{E B} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x - y =$ ．

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14. 已知圆 $C ： x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 m y + 2 m - 1 = 0$ ，当圆C的面积最小时，直线 $l ： 3 x - 4 y + a = 0$ 与圆C相切，则实数a的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，方程 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) - 1 = 0$ 有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为．

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，侧面 $△ A B C$ 和底面 $△ B C D$ 都是边长为2的等边三角形，若 $A D = \sqrt{6}$ ，则四面体ABCD的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 在条件：① $2 b s i n A - \sqrt{3} a = 0$ ， ② $a = \sqrt{3} b s i n A - a c o s B$ ， ③ $2 a = 2 b c o s C + c$ 中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．
已知a，b，c分别为锐角 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边， $b = 2 \sqrt{3}$ ，而且____；

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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18. 自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.2022年8月，奥密克戎BA.5.1.3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
$x (T)$
1
2
3
4
5
6
…
y（万个）
…
10
…
50
…
250
…
若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过 $x (x \in N^{*})$ 个单位时间T的关系有两个函数模型 $y = A x^{2} + B (A \neq 0)$ 与 $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 可供选择．
（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236 ， \sqrt{6} \approx 2.449$ ， $l g 2 \approx 0.301 ， l g 6 \approx 0.778$ ）

(1)、判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{2}{3}$ ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若对于 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{3}] ， {[g (x)]}^{2} - m g (x) - 3 \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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20. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．现已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 5)$ ， $B (- 3 ， 3)$ ， $C (0 ， 2)$ ，圆 $E$ 的圆心 $E$ 在 $△ A B C$ 的欧拉线上，且满足 $\vec{A E} \cdot \vec{B E} = 0$ ，直线 $x + y - 6 = 0$ 被圆 $E$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的欧拉线的方程；

(2)、求圆 $E$ 的标准方程．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面APD是以AP为斜边的直角三角形，且平面 $A P D ⊥$ 平面APC．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面PAD；

(2)、若M为PA的中点，且 $P C = P D$ ，求二面角 $P - M D - C$ 的余弦值．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C， $△ A B C$ 的内切圆的半径为 $2 \sqrt{5} - 4$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、点M为直线 $l ： x = 1$ 上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．

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$x (T)$	1	2	3	4	5	6	…
y（万个）	…	10	…	50	…	250	…