湖北省九校教研协作体2022-2023学年高二上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为（）．

A、0 B、－2 C、－1 D、－3

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2. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{1} - 2 z_{2} | ， z_{1} \bar{z_{2}} = \sqrt{3} (1 - i) ， i$ 为虚数单位，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、1 B、2 C、1-i D、2-i

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3. 已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为 $\frac{1}{6}$ ，则此三棱锥的高h与其内切球半径r之比是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 在空间直角坐标系中，已知O(0， 0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距离相等的点的个数是（）

A、1 B、4 C、5 D、无穷多

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5. 武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（）

A、 $\frac{195}{256}$ B、 $\frac{195}{512}$ C、 $\frac{103}{512}$ D、 $\frac{103}{256}$

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6. 袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{9}{35}$ C、 $\frac{9}{70}$ D、 $\frac{6}{35}$

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7. 设 $A 、 B$ 是椭圆 $x^{2} + 3 y^{2} = 1$ 上的两个动点，且 $O A ⊥ O B (O$ 为坐标原点)．则 $| A B |$ 的最大值和最小值的乘积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点P在底面的射影为 $△ A B C$ 的垂心O（O在 $△ A B C$ 内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 $α$ ，过BM作平行于AC的截面 $β$ ，记 $α$ ， $β$ 与底面ABC所成的锐二面角分别为 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ，若 $∠ P A M = ∠ P B M = θ$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则 $A C = B C$ B、若 $θ_{1} \neq θ_{2}$ ，则 $t a n θ_{1} \cdot t a n θ_{2} = \frac{1}{2}$ C、 $θ$ 可能值为 $\frac{π}{6}$ D、当 $θ$ 取值最大时， $θ_{1} = θ_{2}$

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二、多选题

9. 如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 A_{4}$ 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止则下列说法正确的是（）

A、甲从M到达N处的方法有20种 B、甲从M必须经过 $A_{2}$ 到达N处的方法有64种 C、甲、乙两人在 $A_{2}$ 处相遇的概率为 $\frac{81}{400}$ D、甲、乙两人相遇的概率为 $\frac{41}{100}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，P，Q分别为边AC，BC上一点，BP，AQ交于点D，且满足 $\vec{A P} = t \vec{P C}$ ， $\vec{B Q} = λ \vec{Q C}$ ， $\vec{B D} = μ \vec{D P}$ ， $\vec{A D} = m \vec{D Q}$ ，则下列结论正确的为（）

A、若 $t = \frac{1}{2}$ 且 $λ = 3$ 时，则 $m = \frac{2}{3}$ ， $μ = 9$ B、若 $μ = 2$ 且 $m = 1$ 时，则 $λ = \frac{1}{3}$ ， $t = \frac{1}{2}$ C、若 $\frac{1}{λ} - \frac{2}{t} = 1$ 时，则 $\frac{1}{μ} - \frac{2}{t} = 1$ D、 $\frac{t μ}{(1 + μ) (1 + t)} = \frac{λ m}{(1 + m) (1 + λ)}$

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11. 已知正三棱锥 $S - A B C$ 的底面 $A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，体积为3，球 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 分别是三棱锥 $S - A B C$ 的外接球与内切球，则下列说法正确的是（）

A、球 $O_{1}$ 的表面积为 $\frac{49}{3} π$ B、二面角 $S - A B - C$ 的大小为 $3 0^{∘}$ C、若点 $E$ 在棱 $S B$ 上，则 $A E + C E$ 的最小值为 $\frac{8 \sqrt{21}}{7}$ D、在三棱锥 $S - A B C$ 中放入一个球 $O_{3}$ ，使其与平面 $S A B$ 、平面 $S B C$ 、平面 $S A C$ 以及球 $O_{2}$ 均相切，则球 $O_{3}$ 的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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12. 当 $- 1 ⩽ x ⩽ 1$ 时， $| a x^{2} + b x + c | ⩽ 1$ 恒成立，则（）

A、当 $a = 2$ 时， $| b | + | c | = 1$ B、当 $a = 2$ 时， $| b | + | c | = 2$ C、当 $b = 1$ 时， $| a + c | = 0$ D、当 $b = 1$ 时， $| a | + | c | = 0$

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三、填空题

13. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为1， $\vec{A P} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) ， \vec{A Q} = \vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ ．则 $△ A P Q$ 的面积为

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14. 已知z∈C.若关于x的方程 $x^{2} - 2 z x + \frac{3}{4} + i = 0$ (i为虚数单位)有实数根，则 $| z |$ 的最小值为.

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15. 大国泱泱，大潮滂滂．喜迎祖国73华诞，现有10张卡片，每张卡片上写有“我”“爱”“你”“中”“国”中两个不同的字，且任意两张卡片上的字不完全相同．将这10张卡片放入标号为“我”“爱”“你”“中”“国”的五个盒子中，“我”“爱”“你”“中”“国”依次编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ ，规定写有i，j的卡片只能放在i号或j号盒子中．一种放法称为"好的"，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则"好的"放法共有种．

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16. 四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为.

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四、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 分别表示它的三个内角，且满足 $c o s A \cdot c o s B \cdot c o s C = \frac{1}{8}$ ，试判断该三角形的形状.

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18. 如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T (2 ， 0)$ ，与 $y$ 轴的正半轴相交于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的上方），且 $| A B | = 3$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $B$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相交于 $P ， Q$ 两点，求证：射线 $A B$ 平分 $∠ P A Q$ .

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19. 一场突如其来的新型冠状病毒疫情扰乱了人们的正常生产生活．秉承防疫为民的政治理念，积极响应上级号召，我市将于人民路以东修建一大型核酸检查中心．其形状可大致认为是正方形ABCD，

(1)、从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加核酸中心检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为多少

(2)、为保证人员合理分流，先于ABCD中取一点P，使得核酸中心划分为 $△ P A B ， △ P A D ， △ P B C ， △ P C D$ ．试求最小正实数a使得任意两三角形面积比值不大于a且不小于 $\frac{1}{a}$ ．

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20. 同底的两个正三棱锥内接于半径 $R$ 为的球，它们的侧面与底面所成的角分别为 $α_{1} ， α_{2}$ ，求

(1)、两三棱锥的侧面积之比

(2)、两三棱锥体积之比

(3)、 $α_{1} ， α_{2}$ 之和的正切的最大值

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21. 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n $\in N^{*}$ )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{1}$ ；

(2)、证明： $P_{n + 1} < P_{n}$ ．

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22. 如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ， ∠B₁BD= $\frac{π}{6}$ ， $∠ B_{1} B A = ∠ B_{1} B C ，$ $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 ， B_{1} B = 3$

(1)、求证：直线AC⊥平面BDB₁；

(2)、求直线A₁B₁与平面ACC₁所成角的正弦值.

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