浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 < 0} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、{2} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${4 ， 5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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2. 若 $(1 + i) \bar{z} = 1 - 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 已知边长为3的正 $△ A B C ， \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、3 B、9 C、 $\frac{15}{2}$ D、6

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4. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各个顶点都在同一球面上，若 $A B = 3 ， A C = A A_{1} = 2 ， ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则此球的表面积为（）

A、 $\frac{40 π}{9}$ B、 $\frac{40 π}{3}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、32π

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5. 在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的 $3 + 3$ 模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位：人）

选物理
不选物理
总计
男生
340
110
450
女生
140
210
350
总计
480
320
800
表一

选生物
不选生物
总计
男生
150
300
450
女生
150
200
350
总计
300
500
800
表二
试根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（）
附： $χ^{2} = \frac{n （ a d - b c ）^{2}}{（ a + b ）（ c + d ）（ a + c ）（ b + d ）} ， n = a + b + c + d . α = P (χ^{2} \geq x_{α})$
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{a}$
2.027
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A、选物理与性别有关，选生物与性别有关 B、选物理与性别无关，选生物与性别有关 C、选物理与性别有关，选生物与性别无关 D、选物理与性别无关，选生物与性别无关

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则以下结论正确的是（）

A、“q $>$ 0”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的充分不必要条件 B、“q $>$ 1”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的充分不必要条件 C、“q $>$ 0”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的必要不充分条件 D、“q $>$ 1”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的必要不充分条件

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7. 若 $a = e^{0.1}$ ， $b = l n \frac{11 e}{10}$ ， $c = \frac{12}{11}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形.顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体 $A B C D E F$ 是一个“刍䠢”，其中 $△ B C F$ 是正三角形， $A B = 2 B C = 2 E F = 2$ ， $B F ⊥ E D$ ，则该五面体的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12}$

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二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、函数 $y = 1 - s i n 2 x$ 的周期是 $π$ B、函数 $y = 1 - c o s^{2} x$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、函数 $y = 2 - s i n x - c o s x$ 在 $[\frac{π}{4} ， π]$ 上是减函数 D、函数 $y = c o s (2022 x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} s i n (2022 x + \frac{π}{6})$ 的最大值为 $1 + \sqrt{3}$

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10. 拋物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交拋物线于 $A ， B$ 两点，点 $P$ 在拋物线 $C$ 上，则下列结论中正确的是（）

A、若 $M (2 ， 2)$ ，则 $| P M | + | P F |$ 的最小值为4 B、当 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ 时， $| A B | = \frac{16}{3}$ C、若 $Q (- 1 ， 0)$ ，则 $\frac{| P Q |}{| P F |}$ 的取值范围为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、在直线 $x = - \frac{3}{2}$ 上存在点 $N$ ，使得 $∠ A N B = 9 0^{∘}$

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11. 如图， $A C$ 是圆O的直径， $P A$ 与圆O所在的平面垂直且 $P A = A C = 2$ ， $B$ 为圆周上不与点 $A 、 C$ 重合的动点， $M ， N$ 分別为点A在线段 $P C 、 P B$ 上的投影，则下列结论正确的是（）

A、平面 $A M N ⊥$ 平面 $P B C$ B、点 $N$ 在圆上运动 C、当 $△ A M N$ 的面积最大时，二面角 $A - P C - B$ 的平面角 $\frac{π}{4}$ D、 $P A$ 与 $M N$ 所成的角可能为 $\frac{π}{6}$

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12. 已知函数 $f （ x ） = a x^{3} - 3 a x^{2} + b$ ，其中实数 $a > 0 ， b \in R$ ，点 $A （ 2 ， a ）$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f （ x ）$ 必有两个极值点 B、当 $b = 2 a$ 时，点 $（ 1 ， 0 ）$ 是曲线 $y = f （ x ）$ 的对称中心 C、当 $b = 3 a$ 时，过点 $A$ 可以作曲线 $y = f^{'} （ x ）$ 的2条切线 D、当 $5 a < b < 6 a$ 时，过点 $A$ 可以作曲线 $y = f （ x ）$ 的3条切线

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三、填空题

13. 已知直线 $l ： y = x + 1$ 与圆 $C ：（ x - 1 ）^{2} + y^{2} = r^{2} （ r > 0 ）$ 相切，则 $r =$ .

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14. ${(x - 2 y)}^{3} {(y - 2 z)}^{5} {(z - 2 x)}^{7}$ 的展开式中不含 $z$ 的各项系数之和.

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15. 已知偶函数 $f （ x ）$ 及其导函数 $f^{'} （ x ）$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 不恒等于0，且 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，则 $g (2023)$ $=$ .

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P （ 2 ， 1 ）$ ，过点 $（ 1 ， 0 ）$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，直线 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $a_{1} = 2$ 且 $2 S_{n} = (n + 2) a_{n} - 2$ ， ② $a_{1} = 2$ 且 $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n + 3$ ， ③正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且____?

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \frac{1}{a_{3} a_{5}} + \frac{1}{a_{4} a_{6}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n - 1} a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} < \frac{5}{12}$ .

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a + 2 b c o s C = 0$ .

(1)、 $t a n C + 3 t a n B$ 的值；

(2)、若b=2，当角 $A$ 最大时，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D 中，$ 平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $A C = C D = \sqrt{2} ， A D = P D = 2 ， P C = \sqrt{6}$ .

(1)、求证： $A D ⊥ P C$

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的夹角的大小.

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20. 甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为 $p$ ，乙第一题答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，第二题答对的概率为 $\frac{1}{2}$ .若乙有机会答题的概率为 $\frac{15}{16}$ .

(1)、求 $p$ ；

(2)、求甲，乙共同拿到小豆数量 $X$ 的分布列及期望.

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21. 已知点 $A （ 2 ， 1 ）$ 在双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ b > 0 ）$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、设直线 $l ： y = k （ x - 1 ）$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $E ， F$ ，直线 $A E ， A F$ 分别交直线 $x = 3$ 于点 $M ， N$ .当 $△ A M N$ 的面积为 $\sqrt{2}$ 时，求 $k$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ 与函数 $g (x) = x - \frac{1}{a} l n x ， a \in R .$

(1)、若 $f （ x ） > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若曲线 $y = f （ x ）$ 与 $x$ 轴有两不同的交点，求证：两条曲线 $y = f （ x ）$ 与 $y = g （ x ）$ 共有三个不同的交点.

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	选物理	不选物理	总计
男生	340	110	450
女生	140	210	350
总计	480	320	800
表一
	选生物	不选生物	总计
男生	150	300	450
女生	150	200	350
总计	300	500	800
表二

$α$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{a}$	2.027	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828