浙江省强基联盟2022-2023学年高三上学期数学10月统测试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 ⩾ 0} ， B = {x ∣ x > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x ∣ x ⩾ 4}$ C、 ${x ∣ 1 < x ⩽ 4}$ D、 ${x ∣ x > - 2}$

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2. 若 $- i (z + i) = 2 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、2 D、10

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3. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为 $π$ 的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件 $A =$ “甲选择农夫山泉”，事件 $B =$ “甲和乙选择的饮品不同”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 对于非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，“ $\vec{a} = λ \vec{c} (λ \in R)$ ”是“ $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 用一架两臂不等长的天平称黄金，先将 $5 g$ 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 $5 g$ 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（）

A、大于 $10 g$ B、等于 $10 g$ C、小于 $10 g$ D、无法确定

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7. 设 $a = 0.98 + s i n 0.01$ ， $b = e^{- 0.01}$ ， $c = \frac{l o g_{2021} 2022}{l o g_{2022} 2023}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 过抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一点 $P$ 作其切线，该切线交准线 $l$ 于点 $M ， P N ⊥ l$ ，垂足为 $N$ ，抛物线的焦点为 $F$ ，射线 $P F$ 交 $l$ 于点 $Q$ ，若 $| M P | = | M Q |$ ，则 $| M N | =$ （）

A、4 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用 $x$ （万元）与销售利润 $y$ （万元）的统计数据，如下表，由表中数据，得回归直线l： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则下列结论正确的是（）
广告费用 $x /$ 万元
3
4
6
7
销售利润 $y /$ 万元
6
8
10
12

A、 $\hat{b}$ >0 B、 $\hat{a}$ >0 C、直线 $l$ 必过点 $(5 ， 9)$ D、直线 $l$ 必过点 $(3 ， 6)$

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10. 若函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、1 B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $\frac{11}{2}$

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11. 将两圆方程 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 = 0 ， C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + (m - 2) y + (3 - m) = 0 (m > 2)$ 作差，得到直线 $l$ 的方程，则（）

A、直线 $l$ 一定过点 $(- \frac{1}{4} ， 1)$ B、存在实数 $m > 2$ ，使两圆心所在直线的斜率为-2 C、对任意实数 $m > 2$ ，两圆心所在直线与直线 $l$ 垂直 D、过直线 $l$ 上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

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12. 已知 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x ， y \in R$ ，有 $f (x) \cdot f (y) = f (x + y - 1)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， f (1))$ 中心对称 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上不单调 D、当 $x < 1$ 时， $0 < f (x) < 1$

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三、填空题

13. 在 ${(2 x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 项的系数为.

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14. 已知奇函数 $f (x) = {\begin{cases} x (x + 1) ， x \geq 0 \\ x (a x + b) ， x < 0 \end{cases}$ 且 $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 成等差数列，则 $c =$ .

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15. 若直线 $l$ 与单位圆和曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 均相切，则直线 $l$ 的方程可以是.（写出符合条件的一个方程即可）

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16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B D ， C D ⊥ B D ， ∠ B A D = 3 0^{∘}$ ， $∠ B C D = 4 5^{∘}$ ，且 $C D = 1$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 所在直线翻折，得到三棱锥 $A - B C D$ ，已知该三棱锥的顶点均在同一个球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 体积的最小值为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{4 a_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 2}$ 是等比数列.

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 2022$ ，求正整数 $n$ 的最大值.

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $s i n^{2} A - s i n^{2} B = s i n B s i n (A + B)$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ .

(2)、求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围.

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19. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位： $g / c m^{3}$ ）进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.

(1)、若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)、在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；

(3)、若该品种种子的密度 $ρ \sim N (1.3 ， 0.01)$ ，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ)$ $\approx 0.9545$ .

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形，侧面 $P C D$ 与底面 $A B C D$ 垂直，点 $E ， F$ 分别在侧棱 $P A ， P C$ 上，满足 $D E ⊥ P A ， D F ⊥ P C ， P D = C D = 2 A D = 4 ， P B = 6$ .

(1)、证明： $P B ⊥ E F$ .

(2)、求二面角 $D - E F - C$ 的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}) ， F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ 为其左､右焦点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 为第一象限内椭圆 $C$ 上的一点，直线 $P F_{1} ， P F_{2}$ 与直线 $x = 5$ 分别交于 $A ， B$ 两点，记 $△ P A B$ 和 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{25}{9}$ ，求 $\frac{| P A | \cdot | P F_{1} |}{| P B | \cdot | P F_{2} |}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a^{2} l n x (a \neq 0)$ ，存在实数 $a_{1} ， a_{2} (a_{1} < a_{2})$ ，当 $a$ 分别取 $a_{1} ， a_{2}$ 时， $f (x)$ 有相同的极值点和极值.

(1)、求 $a_{1} ， a_{2}$ ；

(2)、若 $a = a_{2}$ ，设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，曲线 $y = g (x)$ 在点 $(t ， g (t))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 交于另一点，求 $t$ 的取值范围.

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广告费用 $x /$ 万元	3	4	6	7
销售利润 $y /$ 万元	6	8	10	12