山西省2023届高三上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \geq 1 ， l n x \geq \sqrt{x} + 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x < 1 ， l n x < \sqrt{x} + 1$ B、 $\exists x \geq 1 ， l n x < \sqrt{x} + 1$ C、 $\exists x \geq 1 ， l n x \geq \sqrt{x} + 1$ D、 $\forall x < 1 ， l n x < \sqrt{x} + 1$

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2. 已知集合 $A = {x | y = l n (2 - x)}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $B ∩ (∁_{R} A) =$ （）

A、（-3，2] B、[-3，2） C、（2，3] D、[2，3）

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3. 已知 $sin α - cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{π}{2} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{9}$

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4. 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用 $I$ (单位：瓦/米² ，即 $W / m^{2}$ )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 $L$ (单位：分贝)表示，它们满足换算公式： $L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ ( $L \geq 0$ ，其中 $I_{0} = 1 \times 10^{- 12} W / m^{2}$ 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{100}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{20}$

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5. “lna＜lnb”是“ $a^{\frac{1}{3}} < b^{\frac{1}{3}}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 3 (a, b \in R)$ .若 $f (2) = 5$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 若偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减， $a = f (l o g_{2} 3)$ ， $b = f (l o g_{4} 5)$ ， $c = f (2^{\frac{3}{2}})$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足：当 $x \leq a$ 时， $f (x) = x^{3} - x$ ，且 $f (a + x) = f (a - x)$ .若函数 $f (x)$ 恰有5个零点，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则下列判断错误的是

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为2 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 4 ， 4]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{10}{3} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到 $y = A s i n ω x$ 的图象

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10. 已知函数 $f (x) = e^{4 x - 1}$ ， $g (x) = \frac{1}{2} + l n (2 x)$ ，若 $f (m) = g (n)$ 成立，则 $n - m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1 - l n 2}{4}$ B、 $\frac{1 + l n 2}{4}$ C、 $\frac{2 l n 2 - 1}{3}$ D、 $\frac{1 + 2 l n 2}{3}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的连续奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，则使得 $2 x f (2 x) + (1 - 3 x) f (3 x - 1) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{5}) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{5} ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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12. 定义“函数 $y = f (x)$ 是 $D$ 上的 $a$ 级类周期函数” 如下：函数 $y = f (x) ， x \in D$ ，对于给定的非零常数 $a$ ，总存在非零常数 $T$ ，使得定义域 $D$ 内的任意实数 $x$ 都有（） $a f (x) = f (x + T)$ 恒成立，此时 $T$ 为 $f (x)$ 的周期. 若 $y = f (x)$ 是 $[1 ， + \infty)$ 上的 $a$ 级类周期函数，且 $T = 1$ ，当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} (2 x + 1)$ ，且 $y = f (x)$ 是 $[1 ， + \infty)$ 上的单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围为

A、 $[\frac{5}{6} ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[\frac{10}{3} ， + \infty)$ D、 $[10 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = (x + 1) (x + a) x^{4}$ 为 $R$ 上的偶函数，则 $a =$ ．

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14. 若函数 $y = 2 x^{3} + 1$ 与 $y = 3 x^{2} - b$ 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 $b =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 7$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x$ ，集合 $M = {x | f (x) < 0}$ ， $P = {x | f^{'} (x) < 0}$ ，若P⫋M，则实数 $a$ 的取值构成的集合是.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 a s i n B$ ， $t a n A > 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，求 $\frac{a}{S}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (x + φ) (φ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}))$ ，对任意 $x \in R$ 都有 $f (\frac{π}{3} + x) = f (- x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、对于任意 $x \in R$ ，不等式 $| f (x) - 1 | \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x - 1$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的倒数和为 $- 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若在区间 $[- 2 ， 1]$ 上，不等式 $f (- x) > 2 x - m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 某公园拟利用废地建设两块三角形花圃 $A B D$ 与 $B C D$ ，其中 $△ B C D$ 是以 $C$ 为直角顶点的等腰直角三角形（如图）， $A D = 1$ 百米， $A B = \sqrt{3}$ 百米.

(1)、若 $∠ A D B = 60 °$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、求两块花圃的面积和的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ， $g (x) = e l n x$ ．

(1)、设函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ ，求 $F (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在常数 $k$ ， $m$ ，使得 $f (x) \geq k x + m$ ，对 $x \in R$ 恒成立，且 $g (x) \leq k x + m$ ，对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则称直线 $y = k x + m$ 为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“分界线”，试问： $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点的个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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