江苏省苏州市八校2023届高三上学期数学第一次适应性检测试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $(1 - i) z = i^{2022}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 2^{x - 1} < 1} ， B = {x ∣ x^{2} + x - 6 > 0}$ ，则如图所示阴影区域表示（）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 1}$ C、 ${x ∣ - 2 ⩽ x < 1}$ D、 ${x ∣ - 3 ⩽ x < 1}$

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3. “ $s i n α + c o s α = 1$ ”是“ $s i n 2 α = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足 $l g X_{n} = n l g (1 + p) + l g X_{0}$ ，其中 $X_{0}$ 为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据： $1 0^{0.25} \approx 1.778 ， 1 0^{- 0.25} \approx 0.562$ ）

A、22.2% B、43.8% C、56.2% D、77.8%

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5. 函数 $f (x) = \frac{c o s 2 x}{2^{- x} - 2^{x}}$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $\sqrt{2} a_{n + 1} = a_{n} (n \in N^{*})$ .记 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，则使 $T_{n} > \frac{31 \sqrt{2}}{32}$ 成立的最小正整数n为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上，古 $E$ 在线段 $A C$ 上，且满足 $A D = D B = 2 ， 2 A E = E C = 2 ， C D$ 交 $B E$ 于 $F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{32}{5}$ B、 $- \frac{29}{5}$ C、 $- \frac{17}{5}$ D、 $- \frac{6}{5}$

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8. 已知 $a = 0.7 e^{0.4} ， b = e l n 1.4 ， c = 0.98$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（）

A、 $\vec{A D} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O E} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} - \vec{A F} + \vec{D C} = \vec{C F}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O D}$

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10. 已知 $a \geq 0 ， b \geq 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ C、 $l o g_{2} (a - b + \frac{3}{2}) > - 1$ D、 $l n (a + 1) \geq a$ 的充要条件是 $b = 1$

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11. 对于函数 $f (x) = | s i n x | + c o s 2 x$ ，下列结论正确得是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， \frac{9}{8}]$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ， $f (2 - x) = - f (x)$ ，且当 $x \in (- 1 ， 0]$ 时， $f (x) = - 1 - x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[5 ， 6]$ 上单调递减 C、若关于x的方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， 6]$ 上的所有实数根的和为 $\frac{25}{3}$ ，则 $m = - \frac{2}{3}$ D、函数 $y = f (x) - l n | x |$ 有4个零点

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{m} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{n} = (2 ， λ)$ ．若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $2 \vec{m} + \vec{n}$ 与 $\vec{m}$ 的夹角余弦值为．

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14. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3} ， A B = 2 ， A C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 长的一个值为.

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15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{n} + 120}{n}$ 的最小值为．

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16. 已知 $f^{'} (x)$ 为定义域 $R$ 上函数 $f (x)$ 的导函数，满足 $f^{'} (x) + f^{'} (2 - x) = 0$ ，当 $x \geq 1$ ， $(x - 1) f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ 且 $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x) > \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{20}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，向量 $p = (2 ， S_{n}) ， q = (1 ， a_{n} - 1)$ ，且 $p$ 和 $q$ 共线．
(I)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(Ⅱ)设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{3}$ ．

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19. 在① $\sqrt{3} a s i n C + a c o s C = b + c$ ， ② $s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A = s i n B s i n C$ ， ③ $c \cdot c o s A c o s B + b \cdot c o s A c o s C = \frac{a}{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求角A；

(2)、若 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ A O C = 135 °$ ， $b = 1$ ， $c = 3$ ，求 $t a n ∠ A B O$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{12}) - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

(3)、对于第（2）问中的函数 $g (x)$ ，记方程 $g (x) = m (m \in R)$ 在 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上的根从小到依次为 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5}$ ，求 $m + x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{5}$ 的值域.

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x (a \in R)$ 满足对任意的 $x \in (0 ， + ∞) ， f (x) ⩽ e x - e$ 恒成立.

(1)、求实数a的值；

(2)、对于函数 $f (x)$ 与 $h (x)$ 定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得 $f (x) \leq k x + b$ 和 $h (x) \geq k x + b$ 都成立，则称直线 $y = k x + b$ 为函数 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的“分界线”.设函数 $h (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ，试探究函数 $f (x)$ 与 $h (x)$ 是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 和 $g (x) = \frac{l n x}{x}$ .

(1)、分别求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的最大值；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 有唯一交点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，且直线 $y = y_{0}$ 与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

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